物理のかぎしっぽ 記事ソース/電磁場のローレンツ変換

記事ソース/電磁場のローレンツ変換

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記事ソースの内容

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電磁場のローレンツ変換
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この記事では速度と力のローレンツ変換を既知として、
電場 $\bm{E}$ と磁束密度 $\bm{B}$ のローレンツ変換を求めます。

想定する状況と前提知識
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速度のローレンツ変換
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まず、慣性系の一つK系を考えます。
次にx軸方向に $V$ の速度で動く別の慣性系K'系を考えます。
また、粒子がK系では $\bm{v}=(v_x,v_y,v_z)$ で動いているものとし、
K'系ではその粒子が $\bm{v}^\prime = (v_x^\prime,v_y^\prime,v_z^\prime)$ で動いているとします。

この時、 $\Gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$ として、

<tex>
v_x^\prime &= \dfrac{v_x-V}{1-\dfrac{v_xV}{c^2}} \tag{##} \\
v_y^\prime &= \dfrac{v_y}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^2} \right) } \tag{##} \\
v_z^\prime &= \dfrac{v_z}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^2} \right) } \tag{##}
</tex>

の関係があります。

力のローレンツ変換
--------------------------

運動方程式は、次の様になります。

<tex>
\dfrac{d\bm{p}}{dt} = \bm{F} \tag{##}
</tex>

ただし、 $\bm{p}$ は四元運動量の空間成分、 $\bm{F}$ は力です。
K系での粒子の速度を $\bm{v}$ , $\gamma=\dfrac{1}{1-v^2/c^2}$ とすると、

<tex>
p^\mu = (E/c,\bm{p}) = (m \gamma c, m \gamma v_x, m \gamma v_y, m \gamma v_z ) \tag{##}
</tex>

となります。K'系で力を $\bm{F}^\prime$ 

<tex>
F_x^\prime &= \dfrac{F_x-\dfrac{V}{c^2} \bm{v} \cdot \bm{F}}{1-\dfrac{v_xV}{c^2}} \tag{##} \\
F_x^\prime &= \dfrac{F_y}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^2} \right) } \tag{##} \\
F_x^\prime &= \dfrac{F_z}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^2} \right) } \tag{##} 
</tex>

と言う関係があります。

電磁場のローレンツ変換
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x軸方向の成分の変換
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さて、K系、K'系を同様に設定して、電荷 $q$ の荷電粒子 $A$ がK系に対して $x$ 軸方向に $\bm{v} = (v_x,0,0)$ で運動しているとしても一般性は失われません。(最後の結論を見ていだければ明らかです。) $A$ に働く電磁気力は

<tex>
\bm{F} = q(\bm{E}+\dfrac{\bm{v}}{c} \times \bm{B}) \tag{##}
</tex>

です。物理法則は不変なはずなので、
これをK'系で見ると、

<tex>
\bm{F}^\prime = q(\bm{E}^\prime+\dfrac{\bm{v}^\prime}{c} \times \bm{B}^\prime) \tag{##}
</tex>

となります。式 $(6)$ から力のの変換則は $\bm{v} \cdot \bm{F} \to v_x F_x$ から、

<tex>
F_x^\prime 
&= \dfrac{F_x-\dfrac{v_xV}{c^2}F_x}{1-\dfrac{v_xV}{c^2}} \\
&= F_x 
\tag{##}
</tex>

となるので、

<tex>
q E_x^\prime = q E_x \tag{##}
</tex>

より、

<tex>
E_x^\prime = E_x \tag{##}
</tex>

となります。x軸方向については $B_x^\prime$ と $B_x$ の関係も欲しいのですが、
どう求めて良いか分かりませんでした。荷電粒子は運動方向の磁束密度とは相互作用を起こさない為です。
参考文献には

<tex>
B_x^\prime = B_x \tag{##}
</tex>

とあります。

z軸方向の成分の変換
---------------------------

まずは、 $\alpha=\dfrac{v_x}{c},\beta=\dfrac{V}{c}$ とします。この時、式 $(8)$ より、

<tex>
F_z^\prime = \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} F_z \tag{##}
</tex>

となります。よって、

<tex>
q \left( E_z^\prime + \dfrac{v_x^\prime}{c} B_y^\prime \right) 
= q \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} \left(E_z + \dfrac{v_x}{c} B_y \right) \tag{##}
</tex>

となり、式 $(1)$ から、

<tex>
\dfrac{v_x^\prime}{c} = \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} \tag{##}
</tex>

ですから、式 $(16)$ を書き直すと、

<tex>
E_z^\prime + \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} B_y^\prime 
= \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} \left(E_z + \alpha B_y \right) \tag{##}
</tex>

となります。

ここで、式 $(18)$ の自由度を落とすため、 $v_x = V \ \ (\alpha=\beta)$ の時を考えます。
すると、

<tex>
E_z^\prime 
&= \dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \left(E_z + \beta B_y \right) \\
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y \right) \tag{##}
</tex>

が得られます。(ここでさりげなく $\alpha$ を $\beta$ に置き換えていますが、これは $\beta \to 0$ の極限でロ−レンツ力を再現するようにしています。)次に、 $\alpha \neq \beta$ の時を考えると、

<tex>
E_z^\prime + \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} B_y^\prime 
&= \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} \left(E_z + \alpha B_y \right) \\
&= \Gamma \dfrac{1-\beta^2}{1 - \alpha \beta} \left(E_z + \alpha B_y \right) \\
&= \Gamma \dfrac{1-\alpha \beta +\alpha \beta - \beta^2}{1 - \alpha \beta} \left(E_z + \alpha B_y \right) \\
&= \Gamma \left(E_z + \alpha B_y \right) + \Gamma \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} \left(\beta E_z + \alpha \beta B_y \right) \\
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y + (\alpha - \beta) B_y \right) + \Gamma \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} \left(\beta E_z + \alpha \beta B_y \right) \\
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y \right) + \Gamma \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} \left(\beta E_z + \alpha \beta B_y + (1 - \alpha \beta) B_y \right) \\
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y \right) +  \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} \Gamma \left(B_y + \beta E_z \right)\tag{##}
</tex>

ここで、 $E_z^\prime = \Gamma \left(E_z + \beta B_y \right)$ でしたから、

<tex>
B_y^\prime = \Gamma \left(B_y + \beta E_z \right) \tag{##}
</tex>

が求まりました。

y軸方向も同様に求められます。以上をまとめると、

<tex>
E_x^\prime &= E_x \\
E_y^\prime &= \Gamma \left( E_y - \dfrac{V}{c} B_z \right) \\
E_y^\prime &= \Gamma \left( E_z + \dfrac{V}{c} B_y \right) \\
B_x^\prime &= B_x \\
B_y^\prime &= \Gamma \left( B_y + \dfrac{V}{c} E_z \right) \\
B_y^\prime &= \Gamma \left( B_z - \dfrac{V}{c} E_y \right) \tag{##}
</tex>

となります。これは $x$ 軸方向の運動でしたから、
一般には、運動方向に平行な成分を $\parallel$ 、垂直な成分を $\perp$ とすると、

<tex>
\bm{E}_{\parallel}^\prime &= \bm{E}_{\parallel} \\
\bm{E}_{\perp}^\prime &=  \Gamma \left( \bm{E}_{\perp} + \dfrac{\bm{V}}{c} \times \bm{B}_{\perp} \right) \\
\bm{B}_{\parallel}^\prime &= \bm{B}_{\parallel} \\
\bm{B}_{\perp}^\prime &=  \Gamma \left( \bm{B}_{\perp} - \dfrac{\bm{V}}{c} \times \bm{E}_{\perp} \right) \tag{##} 
</tex>

となります。今日はここまで。お疲れさまでした。

@@reference: 高原文郎,特殊相対論,培風館,2006,p38-p39,4563024430@@

@@author:クロメル@@
@@accept:2019-10-28@@
@@category:電磁気学@@
@@id:LorentzTransformationOfEMF@@
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