物理のかぎしっぽ 記事ソース/コーシーの積分公式の幾何学的解釈とその過程で得られた関係式

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コーシーの積分公式の幾何学的解釈とその過程で得られた関係式
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本記事では, コーシーの積分公式(Cauchy Integral Formula)を幾何学的に解釈することと, その定式化の過程で得られたいくつかの関係式について紹介したいと思います. 従来と異なる視点を提供することにより, 複素解析を探究する人々が新しい世界を切り拓いてくれることを期待しています. 

1. 基本的な式
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ここでは, コーシーの積分公式を含む複素解析の基本的な式を取り上げる. 詳しい定義や導出等は複素解析の教科書をご参照願いたい.

さて,  $D$ は複素平面上の単連結領域(穴が開いていない領域)とし,  $C$ はそれを囲うある長さを持つ単純閉曲線(自身と交わらない閉じた曲線)とする.  $D$ の任意の一点 $a$ において, 以下のコーシー・ポンペイウの公式(Cauchy-Pompeiu Formula)が成り立つ.

<tex>
f(a) = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C=\partial D} \cfrac{f(z)}{z-a} dz + \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\int_{D} \cfrac{ \frac{\partial f(z)}{\partial \bar{z}}}{z-a} dz d \bar{z} \tag{1.1}
</tex>

ここで,  $\bar{z}$ は, 複素数 $z$ の複素共役(complex conjugate)である. また,

<tex>
dz d \bar{z} = -2 i d D \tag{1.2}
</tex>

であることから, 式(1.1)は二項目を書き変えて, 

<tex>
f(a) = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C=\partial D} \cfrac{f(z)}{z-a} dz - \cfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_{D} \cfrac{ \frac{\partial f(z)}{\partial \bar{z}}}{z-a} dD \tag{1.3}
</tex>

とも表せる.

さて, $f(z)$ が $D$ 上の正則関数(holomorphic function)であるとき,  $\cfrac{\partial f(z)}{\partial \bar{z}}=0$ であるので, 式(1.1)あるいは式(1.3)は, 

<tex>
f(a) = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C} \cfrac{f(z)}{z-a} dz \tag{1.4}
</tex>

となる. これがコーシーの積分公式(Cauchy Integral Formula)と呼ばれるものである. また, 式(1.4)の特別な場合 $f(z) \equiv 1$ として, いわゆるコーシーの積分定理(Cauchy Integral Theorem)が成り立つ.

<tex>
 1 = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C} \cfrac{1}{z-a} dz \tag{1.5}
</tex>

そして, 式(1.4)と式(1.5)から次が成り立つ.

<tex>
f(a) = \cfrac{\displaystyle\oint_{C} \cfrac{f(z)}{z-a} dz }{\displaystyle\oint_{C} \cfrac{1}{z-a}dz}  \tag{1.6}
</tex>

以下, 特に断らない限りは, 取り扱われる関数はすべて正則(holomorphic)となるような適切な定義域(domain of definition)を取っているものとする.

2. 幾何学的な解釈
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ある変数変換により式(1.6)を書き換え, その幾何学的な解釈を行う.

2.1 変数変換
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以下の変数変換を考える.

<tex>
z^{\prime} = \log(z-a) \tag{2.1}
</tex>

ここで,  $\log(z)$ は自然対数である. 複素関数の対数は一般に多価性があるが, 本稿では1価に制限されているものとする.

ここで,  $z-a = re^{i \theta}$ ,  $0 \leq \theta \leq 2\pi$ とすると, この変数変換に伴い $z^{\prime} = \log(r)+i \theta$ , になり, 単純閉曲線 $C$ は, 開いた曲線 $C^{\prime}$ になる.

2.2 幾何学的解釈
------------------------

以上から, 式(1.6)は,  $\cfrac{d}{dz} \log(z) = \cfrac{1}{z}$ を用いると,  以下のように書き換えられる.

<tex>
f(a) &= \cfrac{ \displaystyle\oint_{C} f(z) d( \log(z-a) ) }{ \displaystyle\oint_{C} d( \log(z-a) ) } \tag{2.2}
\\
 &= \cfrac{ \displaystyle\oint_{C^{\prime}} f( e^{z^{\prime}} + a ) d z^{\prime} }{ \displaystyle\oint_{C^{\prime}} d z^{\prime} } \tag{2.3}
</tex>

つまり, 式(2.3)は,  $f(a)$ は, (開いた)曲線 $C^{\prime}$ に沿って $z^{\prime}$ が動いた時の関数 $g(z^{\prime}) \equiv f(e^{z^{\prime}}+ a)$ の平均値(あるいは重心)を与えていると解釈できる.

2.3 解釈の整合性
------------------------

実は, 上記の議論で, 

<tex>
\cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C=\partial D} \cfrac{f(z)}{z-a} dz \tag{2.4}
</tex>

という積分は, 変数変換(2.1)を行わなくてもそのまま,  $C$ 上を $\cfrac{1}{z-a}$ という関数について $z$ で積分するとき,  $f(z)$ という重みを与えて平均化している, とも解釈でき, しかもこの解釈自体は $f(z)$ が正則か否かには関係ない. そのため, たとえば, 式(1.1)の右辺第一項にも解釈を適用可能である.

さて, 平均値(2.4)を $C$ にそって $z$ で積分すると, それは, $\cfrac{f(z)}{z-a}$ を $C$ にそって $z$ で積分する合計値と一致するはずである. すなわち,

<tex>
\displaystyle \oint_{C= \partial D} \left( \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle \oint_{C=\partial D} \cfrac{f(w)}{w-a} dw \right) dz = \displaystyle \oint_{C=\partial D} \cfrac{f(z)}{z-a} dz \tag{2.5}
</tex>

ここで, 左辺の括弧内に式(1.1)を用いれば, 

<tex>
\displaystyle \oint_{C= \partial D} \left( f(a) -  \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\int_{D} \cfrac{ \frac{\partial f(w)}{\partial \bar{w}}}{w-a} dw d \bar{w} \right) dz = \displaystyle \oint_{C=\partial D} \cfrac{f(z)}{z-a} dz \tag{2.6}
</tex>

であり, 左辺は, 

<tex>
2\pi i  f(a) -  \displaystyle\int_{D} \cfrac{ \frac{\partial f(w)}{\partial \bar{w}}}{w-a} dw d \bar{w} \tag{2.7}
</tex>

であることから, 両辺を $2\pi i$ で割れば, コーシー・ポンペイウの公式が再現されることが確認される.

3. 得られるいくつかの関係式
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上記の幾何学的解釈のための定式化から得られたいくつかの新規な関係式を示す. なお, 本項目は, 幾何学的な解釈自体と直接の関係はない.

3.1 一般式
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式(2.3)は,  $D$ 内の任意の点 $z$ について次が成り立つ.

<tex>
f(z) = \cfrac{ \displaystyle\oint_{C^{\prime}} f (e^{z^{\prime}} + z ) d z^{\prime} }{ \displaystyle\oint_{C^{\prime}} d z^{\prime} } \tag{3.1}
</tex>

さて, 正則な条件の下では,  $C$ を変形(deform)しても積分の値は変わらないので,   $C$ として半径1の円を取れば,  $z^{\prime}$ は $ C^{\prime} = \left\{ e^{i \theta} | 0 \leq \theta \leq 2\pi \right\} $ 上を動く(つまり $ C^{\prime} $ は原点から始まる虚数軸上の線分になる). このとき, 式(3.1)は次のようになる.

<tex>
f(z) = \cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} f(e^{i \theta}+z) d \theta \tag{3.2}
</tex>

3.2 具体例
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式(3.2)は一般の正則関数すなわち, 三角関数 $\sin(z)$ , 指数関数 $e^{z}$ , 対数関数 $\log(z)$ , ガンマ関数(Gamma Function) $\Gamma(z)$ (ここでは扱わないが, 不完全ガンマ関数(Incomplete Gamma Function)でも, ディガンマ関数(Digamma Function)でもよい), リーマンのゼータ関数(Riemann Zeta Function) $\zeta(z)$ 等について成り立つ. 列記すると以下になる.

<tex>
\sin(z) = \cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sin(e^{i \theta}+z) d \theta \tag{3.3}
</tex>

<tex>
e^{z} = \cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{(e^{i \theta}+z)} d \theta \tag{3.4}
</tex>

<tex>
\log(z) = \cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \log(e^{i \theta}+z) d \theta \tag{3.5}
</tex>

<tex>
\Gamma(z) = \cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \Gamma(e^{i \theta}+z) d \theta \tag{3.6}
</tex>

<tex>
\zeta(z) = \cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \zeta(e^{i \theta}+z) d \theta \tag{3.7}
</tex>

たとえば,  $\zeta(-1)=-\cfrac{1}{12}=-0.0833333 \cdots $ が知られているが, 式(3.7)の右辺について, Wolfram Alphaで計算してみよう. ただし, その際, 他の $z$ の値の場合も含めて, 場合によっては, リーマンのゼータ関数 $\zeta(z)$ がフルヴィッツのゼータ関数(Hurwitz Zeta Function) $\zeta(z,a)$ の特殊な場合であること, つまり,  $\zeta(z) = \zeta(z,1)$ であることを用いることが有効である.

<tex>
\cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \zeta(e^{i \theta}-1) d \theta &= \cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \zeta(e^{i \theta}-1,1) d \theta
\\
&= -0.0833335+2.09763 \times 10^{-14}i \tag{3.8}
</tex>

3.3 特異点での関係式
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ここで, 特殊な場合について考える. リーマンのゼータ関数は $z=1$ のとき $\zeta(1) = \infty$ であり, 発散する. つまり $z=1$ では正則ではないので, この点で式(3.7)が成立する理由はない. 実際, 式(3.7)の右辺を計算してみると, 意外な結果が出てくる. それはリーマンのゼータ関数とオイラー定数(Euler-Mascheroni Constant)との関係を与える式である.

<tex>
\cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \zeta(e^{i \theta}+1) d \theta = \gamma \tag{3.9}
</tex>

ここでは詳述はしないが, これはスチルチェス定数(Stieltjes Constants) $\gamma_{n}$ の積分表現の特別な場合になっている.

<tex>
\gamma_{n} = \cfrac{(-1)^{n} n! }{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{-i n \theta} \zeta(e^{i \theta}+1) d \theta 
</tex>


リーマンのゼータ関数に関しては, 変数 $e^{i \theta}+z$ がこの特異点 $1$ に関与する $z$ の範囲に注意する必要がある. 筆者の調べた範囲では, 以下の $0 \le z \le 1$ の範囲で特異性があった. 

(1) $z=0$ のとき,  $\zeta(0) = -\cfrac{1}{2}$ に対して,

<tex>
\cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \zeta(e^{i \theta}+0) d \theta = 0 \tag{3.10}
</tex>

(2) $0<z<1$ のとき,  $z=\cfrac{1}{x}$ とおくと,

<tex>
\cfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \zeta \Bigl( e^{i \theta}+\cfrac{1}{x} \Bigr) d \theta = \zeta \Bigl( \cfrac{1}{x} \Bigr) + \cfrac{x}{x-1} \tag{3.11}
</tex>

(3) $z=1$ のとき, 上述の通り(式(3.9)参照).

なお, 上記の(2)の結果(式(3.11)は, (3)の結果(式(3.9))との関係において, 以下の既知の関係と整合している.

<tex>
\gamma = \lim_{s \to 1}  \bigl[ \zeta (s) - \cfrac{1}{s-1} \bigr]
</tex>
(Whittaker, E. T. and Watson, G. N.,"A Course in Modern Analysis," 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p.271, 1990より)

3.4 式(3.2)の考察
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3.3項の例のように, 正則にならない点において, 式(3.2)の両辺を比較してみることは意味があるかもしれない.

また, 式(3.2)について, 大きな $N$ を考えて $e^{i \theta}$ を $N \frac{ e^{i \theta} }{N} = N d e^{i \theta} $ と分割し, 関係 $ f( z + dz ) = e^{dz \frac{ \partial }{ \partial z }} f(z)$ により, 少しずつずらせば,  $ f ( e^{i \theta} + z ) = e^{ N  ( d ( e^{i \theta } ) \frac{ \partial }{ \partial e^{ i \theta } } ) } f(z) = e^{  e^{ i \theta} \frac{ \partial }{ \partial e^{i \theta} } } f(z) $ となるため,  $ \cfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} d \theta e^{  e^{ i \theta} \frac{ \partial }{ \partial e^{i \theta} } } $ という作用素(operator)を考えれば, 

<tex>
\cfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} d \theta e^{  e^{ i \theta} \frac{ \partial }{ \partial e^{i \theta} } } f(z) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} d \theta f( e^{i \theta} + z) =f(z) \tag{3.12}
</tex>

であることから, デルタ関数のようなものであると考えられるかもしれない.

4. おわりに
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コーシーの積分公式は複素解析の基本的な関係式ですが, 少し視点を変えて幾何学的な解釈を試みました. また, その定式化の過程で, いくつかの関係式が得られることを示しました. コーシーの積分公式の幾何学的解釈の発端は, それを習った筆者の学生時代(約三十年ほど前)にさかのぼります. 当時この考えを発表したとき, ある代数学の先生(環論の大家)に理解され,「独自の幾何学を構築している」と言われた以外は, 特に幾何学の人には, 不思議に相手にされなかった記憶があります. 筆者は, 当初よりこの解釈によって, 幾何学のパップス・ギュルダンの定理(Pappus-Guldinus theorem)の複素解析版, あるいは複素関数を波動関数に見立てたパップス・ギュルダンの定理の量子化(?)ができると考えていますが, 未だにその方法が分かりません. 皆様に妙案があれば, ぜひ教えを請いたいところです.

The English version of this article is  here_ .

.. _here: https://drive.google.com/open?id=1LFpRZLYhg7tWybVkquYIRa4nh6UB-TbE



@@author: 鈴木康夫@@
@@accept: 執筆中@@
@@category: 複素解析@@
@@id: CauchyIntegralFormulaGeometry@@
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