物理のかぎしっぽ 記事ソース/a

記事ソース/a

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記事ソースの内容

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続々々・ベクトルの回転
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特定の向きを向いた剛体が、オイラー角と呼ばれる三つの回転を行った後の状態は、
ある一つの軸まわりの回転で、同じ向きを向けることができます。
その回転軸と回転の大きさを求めてみよう。というのが、今回の記事
です。 ベクトルの回転_ 、 続ベクトルの回転_ 、 続々ベクトルの回転_ の続編です。

オイラー角
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オイラー角は、次の三つの行列の積で表されます。
この三回の回転で、どんな向きでも向くことができます。
詳しくは、 剛体のオイラー角でのハミルトニアン_ の慣性主軸の所をご覧ください。
また、式 $(1)$ の二番目の等号が分からない方は 複雑な回転を基本的な回転で表す方法_ も見ておくといいでしょう。

<tex>
K &= R_{z^{\prime\prime}}(\psi) R_{y^\prime}(\theta) R_z(\phi) \\
&= R_z(\phi) R_y(\theta) R_z(\psi) \\
&= 
\begin{pmatrix}
\cos \phi & \sin \phi & 0 \\
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \theta & 0 & - \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \psi & \sin \psi & 0 \\
-\sin \psi & \cos \psi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
\cos \theta \cos \psi \cos \phi - \sin \psi \sin \phi & \cos \theta \sin \psi \cos \phi + \cos \psi \sin \phi
& - \sin \theta \cos \phi \\
-\cos \theta \cos \psi \sin \phi - \sin \psi \cos \phi & -\cos \theta \sin \psi \sin \phi + \cos \psi \cos \phi 
& \sin \theta \sin \phi \\
\sin \theta \cos \psi & \sin \theta \sin \psi & \cos \theta
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

これと、今までこのシリーズで出てきた原点を通る軸周りの任意の大きさ $\alpha$ の回転行列、

<tex>
K &= \bm{n}\bm{n}+ \cos \alpha (I-\bm{n}\bm{n})+ \sin \alpha 
\begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
l^2+\cos \alpha(m^2+n^2) & lm(1-\cos \alpha)-n \sin \alpha & ln(1-\cos \alpha) + m \sin \alpha \\
lm(1-\cos \alpha) +n \sin \alpha & m^2 + \cos \alpha (n^2+l^2) & mn(1-\cos \alpha)-l \sin \alpha \\
ln(1-\cos \alpha) - m \sin \alpha & mn(1-\cos \alpha)+l \sin \alpha & n^2 + \cos \alpha (l^2+m^2)
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

これらが等しいとするのです。
ここで、式(1),(2)のトレース(対角和)を取ります。 $l^2+m^2+n^2=1$ に注意すると、

<tex>
\mathrm{tr} K = 1 + 2 \cos \alpha =(1+ \cos \theta)(1+\cos(\psi+\phi) \ )-1 \tag{##}
</tex>

よって、

<tex>
\cos \alpha &= \frac{1}{2}(1+ \cos \theta)(1+\cos(\psi+\phi) \ )-1 \\
&= 2 \cos^2(\frac{\theta}{2}) \cos^2\frac{\psi + \phi}{2} -1 \tag{##}
</tex>

となります。ただし、恒等式 $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ を
用いました。 $l,m,n$ を求める為に対称成分の差を取ります。

<tex>
K_{32}-K_{23} &= 2 l \sin \alpha \\
&= \sin \theta (\sin \psi - \sin \phi) \tag{##}
</tex>

よって、

<tex>
l &= \frac{1}{2\sin \alpha}\sin \theta (\sin \psi - \sin \phi) \tag{##}
</tex>

同様に、 $m,n$ についても、

<tex>
m &= \frac{-1}{2\sin \alpha}\sin \theta (\cos \psi + \cos \phi) \tag{##}
</tex>

<tex>
n &= \frac{-1}{2\sin \alpha}(1+\cos \theta)\sin (\psi + \phi) \tag{##}
</tex>

と求められます。 $0 \leq \theta \leq \pi$ 、 $-\pi \leq \psi,\phi \leq \pi$ ですから、

ここで、 $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \geq 0$ を用いて、

.. [:] 平方根を取る時の符号の任意性は、プラスに限定して取っても、
回転の軸のベクトル $\bm{n}$ の向きが正負二つがあることで、
うまく回転を表せます。

<tex>
\sin \alpha &= \sqrt{1-\cos^2 \alpha} \\
&= \sqrt{-4 \cos^4 \dfrac{\theta}{2} \cos^4 \dfrac{\psi+\phi}{2}
+4 \cos^2 \dfrac{\theta}{2} \cos^2 \dfrac{\psi+\phi}{2} } \\
&= \begin{cases}
2 \cos \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\psi+\phi}{2} 
\sqrt{1-\cos^2 \dfrac{\theta}{2} \cos^2 \dfrac{\psi+\phi}{2}} \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ (\mathrm{when} -\pi \leq 
\psi+\phi \leq \pi ) \\
- 2 \cos \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\psi+\phi}{2} 
\sqrt{1-\cos^2 \dfrac{\theta}{2} \cos^2 \dfrac{\psi+\phi}{2}} \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ (\mathrm{when} 
-2\pi \leq \psi + \phi \leq -\pi \ ,\  \pi \leq \psi+\phi \leq 2\pi ) 
\end{cases}\tag{##}
</tex>

と、計算できます。そして、三角関数の和積の公式と半角の公式 [*]_ を用いてやると、

.. [*] 一応書いておきます。 $\sin A - \sin B = 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2} $ と
、 $ \cos A + \cos B = 2 \cos \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} $ と
、 $ \sin \theta = 2 \sin \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\theta}{2}$ を用いました。


<tex>
l &= \dfrac{2 \sin \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\theta}{2} \times 2 \sin \dfrac{\psi-\phi}{2} 
\cos \dfrac{\psi+\phi}{2}}{\pm 4 \cos \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\psi+\phi}{2} 
\sqrt{1-\cos^2 \dfrac{\theta}{2} \cos^2 \dfrac{\psi+\phi}{2}}} \\
&=\frac{\pm \sin \dfrac{\theta}{2} \sin \dfrac{\psi-\phi}{2} }
{ \sqrt{1-\cos^2 \dfrac{\theta}{2} \cos^2 \dfrac{\psi+\phi}{2}}} \tag{##}
</tex>

<tex>
m &=\dfrac{\mp \sin \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\psi-\phi}{2} }
{ \sqrt{1-\cos^2 \dfrac{\theta}{2} \cos^2 \dfrac{\psi+\phi}{2}}} \tag{##}
</tex>

<tex>
n &=\dfrac{\mp \cos \dfrac{\theta}{2} \sin \dfrac{\psi+\phi}{2} }
{ \sqrt{1-\cos^2 \dfrac{\theta}{2} \cos^2 \dfrac{\psi+\phi}{2}}} \tag{##}
</tex>

となり、(ただし、複号同順で、式(9)の符号と一致させます。)それなりにきれいな形になりました。

以上、回転の公式の対応の検証でした。
今日は、ここまで。

.. _ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot/
.. _続ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot2/
.. _続々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot3/
.. _剛体のオイラー角でのハミルトニアン: http://hooktail.sub.jp/mechanics/rigidEuler/
.. _複雑な回転を基本的な回転で表す方法: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/rotOfNewAxisAndOldAxis/

@@author:クロメル@@
@@accept:2010-10-24@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:vectorRot4a@@
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