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記事ソース/1/x周辺の積分(log x の近傍で)†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細). コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================ 1/x周辺の積分(log x の近傍で) ============================================================ さて、 $\int_1^x dx/x$ はなんでしょう?そうです、 $\log x$ ですね。 今回は、αを-1に近づけたときの $\int_1^x x^{\alpha} dx$ の挙動を調べてみます。 動機 ================= べき関数の積分に於いて、 <tex> \int_1^x x^{\alpha} dx \begin{cases} \dfrac{x^{\alpha+1}-1}{\alpha+1} \ \ \ \ \ (\alpha \neq -1) \\ \log x \ \ \ \ \ (\alpha = -1) \\ \end{cases} </tex> ですが、 $\alpha = -1$ の時だけ別種の関数に見えています。 では、 $\alpha$ を $-1$ とは異なる、しかし、ごく近い実数にしたら、 $\log$ に収束するのか、 調べました。 <tex> \lim_{\alpha \to -1} \int_1^x x^{\alpha} dx &=\lim_{\alpha \to -1} \dfrac{x^{\alpha+1}-1}{\alpha+1} \\ &=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{x^{\beta}-1}{\beta} \\ &=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{x^{\beta}-x^0}{\beta-0} \\ &=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{d}{d \beta} x^{\beta} \\ &=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{d}{d \beta} e^{\beta \log x} \\ &=\lim_{\beta \to 0} \log x e^{\beta \log x} \\ &=\lim_{\beta \to 0} x^{\beta} \log x \\ &= \log x \ \ (= \log_e x) </tex> この様に確かに、 $\log x$ に収束しました。 実は幾何学的な解釈をすれば、 積分は曲線の下の面積なので、曲線が連続的に移り変わるなら、 おかしなことは起こるはずがなかったのです。 発散と収束の境界:log x ============================= もう少し考えてみましょう。 <tex> \int_1^\infty x^\alpha dx </tex> は、 $\alpha < -1$ で収束、 $\alpha \geq -1$ で発散したのでした。 横軸が対数の片対数のプロットでその様子を見てみましょう。それが、下の図です。 .. image :: chromel-nearLog-01-t.png 見ると、 $\alpha=-1$ の直線を境に上に凸な $ \alpha < -1 $ と下に凸な $\alpha > -1$ で きれいに分かれることが分かります。ちなみに赤線は <tex> \dfrac{x^{\alpha+1}-1}{\alpha+1}|_{\alpha = -1.01 \ x \to \infty} = \dfrac{0-1}{-0.01}=100 </tex> に収束します。 それでは今日はこの辺で、お疲れ様でした。 @@author:クロメル@@ @@accept:2013-08-16@@ @@category:物理数学@@ @@id:nearLog@@ |