物理のかぎしっぽ 記事ソース/複雑な回転を基本的な回転で表す方法修正版

記事ソース/複雑な回転を基本的な回転で表す方法修正版

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記事ソースの内容

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複雑な回転を基本的な回転で表す方法
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この記事では、座標系の回転に関する重要な定理を証明します。

今回の話から分かる事
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ここに $xyz$ デカルト直交座標系(カーテシアン座標系とも言います)
と回転軸 $\bm{n}_2$ が有ったとします。それを別のある軸 $\bm{n}_1$ 
の周りに回転対象の点と座標軸を共に $\alpha$ ラジアンだけ回転(この回転を $R(\bm{n}_1,\alpha)$ 
と書く事にします。)して、 $x^\prime y^\prime z^\prime$ 座標系の座標軸に移り
、 $\bm{n}_2$ が  $\bm{n}_2^\prime$ に移ったとします。
これと $\beta$ ラジアンの回転をする時、 $\bm{n}_2$ 周りの回転 $R(\bm{n}_2,\beta)$ 
と、 $\bm{n}_2^\prime$ 周りの回転 $R(\bm{n}_2^\prime,\beta)$ では結果は当然違いますが、
そこに単純なある関係があると言うものです。J.J.Sakuraiの『現代の量子力学(上)』(吉岡書店)に
この特別な場合が載っていますが、今回私はこの結果を拡張しました。
この記事でこれから扱うのは、座標系の中の点の「能動的回転」 [*]_ です。
ベクトル $\bm{r}$ に回転 $R(\bm{n}_1,\alpha)$ を作用させた結果を、 $R(\bm{n}_1 ,\alpha)\bm{r}$ と書くと、

.. [*] : この回転は複素数平面での積をイメージして頂くのが一番です。 $(x^\prime + i y^\prime) = (a+ib)(x+iy)$ で実際に座標平面の上で点 $(x+iy)$ は回転します。「能動的回転」の対義語が「受動的回転」です。これは座標系とその中の点を考えた時、点は動かさないで、座標系の方を動かしてその座標を測りなおすと言うものです。

その定理とは、

<tex>
R(\bm{n}_2^\prime,\beta) = R(\bm{n}_1,\alpha)R(\bm{n}_2,\beta)R(\bm{n}_1,-\alpha) \tag{##}
</tex>

若しくは、

<tex>
R( \{R(\bm{n}_1,\alpha)\bm{n}_2\} ,\beta) = R(\bm{n}_1,\alpha)R(\bm{n}_2,\beta)R(\bm{n}_1,-\alpha) \tag{##}
</tex>

と言うものです。これが分かると、例えば以下の様なオイラー角の回転を直ぐに書き下せるようになります。
つまり、 $R(\bm{e}_z , \alpha)$ を行って $x^\prime y^\prime z^\prime$ 座標に移り、
次に $R(\bm{e}_{y^\prime} , \beta)$ を行って $x^{\prime\prime} y^{\prime\prime} z^{\prime\prime}$ 座標に移ります。
最後に $R(\bm{e}_{y^{\prime\prime}} , \gamma)$ だけ回転します。これを $R_{total}$ とします。
その時、回転は一番右から順に作用させるとすると、

<tex>
R(\bm{e}_{z^{\prime\prime}},\gamma)R(\bm{e}_{y^{\prime}},\beta)R(\bm{e}_{z},\alpha) \tag{##}
</tex>

となりますが、回転後の軸周りの回転は煩わしいです。
そんな時、この定理が使えて、

<tex>
R(\bm{e}_{z},\alpha) &= A_z \\
R(\bm{e}_{y^{\prime}},\beta) &= B_{y^\prime} = A_z B_y A_z^{-1}\\
R(\bm{e}_{z^{\prime\prime}},\gamma) &= \Gamma_{z^{\prime\prime}} \\
&= B_{y^\prime} \Gamma_{z^\prime} B_{y^\prime}^{-1} \\
&= (A_z B_y A_z^{-1})(A_z \Gamma_z A_z^{-1})(A_z B_y A_z^{-1})^{-1} \\
&= A_z B_y \Gamma_z B_y^{-1} A_z^{-1} \tag{##}
</tex>

であります。
ここで $R$ の逆回転を $R^{-1}$ としました。
連続回転 $R_2 R_1$ の逆は $(R_2 R_1)^{-1} = R_1^{-1} R_2^{-1}$ つまり、一つ目の回転をした後、
二つ目の回転を行った時、元に戻すには、二つ目の回転を逆に行い、一つ目の逆をすれば良いという事です。
よって、 $R_{total}$ は

<tex>
R_{total} &= \Gamma_{z^{\prime\prime}}B_{y^\prime}A_z \\
&= (A_z B_y \Gamma_z B_y^{-1} A_z^{-1}) (A_z B_y A_z^{-1}) A_z \\
&= A_z B_y \Gamma_z \tag{##}
</tex>

という結果が得られます。ここで、 $A_z,B_y,\Gamma_z$ ならば簡単に書き下す事が出来て、

<tex>
A_z &= \begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ 
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
B_y &= \begin{pmatrix}
\cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 
0 & 1 & 0 \\
-\sin \beta & 0 & \cos \alpha 
\end{pmatrix} \\
\Gamma_z &= \begin{pmatrix}
\cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ 
\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となります。今回の話のご利益はこんな感じです。では、式 $(1)$ の証明に入りましょう。

予備知識
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以降の話を読むにあたって、予備知識として拙記事 続ベクトルの回転_ と 続々ベクトルの回転_ を読んでください。
では、話を進めます。

式(1)の証明
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最初に回転軸 $\bm{n}_2$ と $\bm{n}_2^\prime$ とは次の関係があります [*]_ 。

.. [*] : 回転の略記のRですが、ここまでの純粋に回転を表す記号から、以降では回転の行列を表しているとお考えください。この行列は直交行列であり、転置を $T$ で表すと、 $R^T = R^{-1}$ であり、 $R^TR=RR^T=I$ ( $I$ は単位行列)が成立します。つまり、 $R^T(\bm{n},\theta) = R(\bm{n},-\theta)$ となります。

<tex>
\bm{n}_2^\prime = R(\bm{n}_1,\alpha) \bm{n}_2 \tag{##}
</tex>

肝心の任意の回転軸周りの回転行列は、例えば

<tex>
R(\bm{n}_2,\beta) = \bm{n}_2 \bm{n}_2 + \cos \beta (I - \bm{n}_2 \bm{n}_2) + \sin \beta N_2 \tag{##}
</tex>

等となります。ここで $\bm{n}_2 \bm{n}_2$ はダイアドであり、 $\bm{n}_2 = \begin{pmatrix} \ell_2 \\ m_2 \\ n_2 \end{pmatrix}$ として、 $N_2 = \begin{pmatrix} 0 & -n_2 & m_2 \\ n_2 & 0 & -\ell_2 \\ -m_2 & \ell_2 & 0 \end{pmatrix}$ であり、任意の $\bm{r}$ に掛かると、 $N_2 \bm{r} = \bm{n}_2 \times \bm{r}$ の様に外積に変化します。ちなみに、この記事で出てくる回転軸 $\bm{n}_1,\bm{n}_2,\bm{n}_2^\prime$ は全て長さが1です。( $\ell_i^2 + m_i^2 + n_i^2 = 1$ )また、ダイアドは、 $(\bm{a}=(a_1,a_2,a_3),\bm{b}=(b_1,b_2,b_3))$ に対して、単なる行列積 $\bm{a}\bm{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}$ と言う行列だと思っておけば間違いが有りません。

式 $(7)$ を使えば、 $R(\bm{n}_2^\prime,\beta)$ は変形できて、

<tex>
R(\bm{n}_2^\prime,\beta) &= \bm{n}_2^\prime \bm{n}_2^\prime + \cos \beta (I - \bm{n}_2^\prime \bm{n}_2^\prime) + \sin \beta N_2^\prime \\
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R^T(\bm{n}_1 ,\alpha )+ \cos \beta (I - R(\bm{n}_1 ,\alpha ) \bm{n}_2 \bm{n}_2 R^T(\bm{n}_1 ,\alpha )) + \sin \beta N_2^\prime \\
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )+ \cos \beta (I - R(\bm{n}_1 ,\alpha ) \bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )) + \sin \beta N_2^\prime \\
\tag{##}
</tex>

となります。ここで、

<tex>
N_2^\prime = R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \tag{##}
</tex>

が示せれば、無事に

<tex>
R(\bm{n}_2^\prime,\beta) 
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )+ \cos \beta (I - R(\bm{n}_1 ,\alpha ) \bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )) + \sin \beta N_2^\prime \\
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )+ \cos \beta (I - R(\bm{n}_1 ,\alpha ) \bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )) + \sin \beta R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) (\bm{n}_2 \bm{n}_2 + \cos \beta (I - \bm{n}_2 \bm{n}_2) + \sin \beta N_2) R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) R(\bm{n}_2, \beta) R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \tag{##}
</tex>

となります。よって、式 $(10)$ を示せば証明完了です。今回の話が成立すると確信を持った計算があります。
それは、次の必要条件を導いた計算です。式 $(10)$ を辺々二乗したのです。
すると、 $\bm{n}_2 \bm{n}_2 = I + N_2^2$ より、

<tex>
R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) 
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2^2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) (\bm{n}_2 \bm{n}_2 - I) R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\
&= (\bm{n}_2^\prime \bm{n}_2^\prime - I) \\
&= N_2^{\prime 2}
\tag{##}
</tex>

となり、矛盾しないからです。もちろん、 $x^2 = 1$ から $x=1$ のみを導けないので、然るべき計算をこれから行います。

式(10)の証明
============================

さて、 $N_2^\prime$ は $\bm{n}_2^\prime$ の成分を並べ替える事で手に入ります。
よって、まずは $\bm{n}_2^\prime$ を求めましょう。式 $(8)$ の添え字を $2$ から $1$ に変えたものを使って、

<tex>
R(\bm{n}_1,\alpha) \bm{n}_2^\prime 
&= (\bm{n}_1 \bm{n}_1 + \cos \alpha (I - \bm{n}_1 \bm{n}_1) + N_1)\bm{n}_2 \\
&= (\cos \alpha I + (1 - \cos \alpha) \bm{n}_1 \bm{n}_1) + N_1)\bm{n}_2 \\
&= \cos \alpha \bm{n}_2 + (1 - \cos \alpha) (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2) \bm{n}_1 + \sin \alpha \bm{n}_1 \times \bm{n}_2 \tag{##}
</tex>

よって、この要素を並べ替えて出来る $N_2^\prime$ は

<tex>
K = \begin{pmatrix}
0 & \ell_2 m_1 - \ell_1 m_2 & \ell_2 n_1 - \ell_1 n_2 \\
- \ell_2 m_1 + \ell_1 m_2 & 0 & m_2 n_1 - m_1 n_2 \\
 -\ell_2 n_1 + \ell_1 n_2 & -m_2 n_1 + m_1 n_2 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

と言う行列 $K$ を使って、

<tex>
N_2^\prime = \cos \alpha N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 + \sin \alpha K \tag{##}
</tex>

となります。ちなみに、 

<tex>
N_1 N_2 -N_2 N_1 = K \tag{##}
</tex>

となっています。よって、我々は

<tex>
R(\bm{n}_1,\alpha) 
&= \bm{n}_1 \bm{n}_1 + \cos \alpha (I-\bm{n}_1 \bm{n}_1) + \sin \alpha N_1 \\
&= I + N_1^2 - \cos \alpha N_1^2 + \sin \alpha N_1 \\
&= I + \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2 \tag{##}
</tex>

より、

<tex>
N_2^\prime 
&= (I + \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2) N_2 (I - \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2) \\
&= \cos \alpha N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 + \sin \alpha K \tag{##}
</tex>

を示せばよいです。式(18)の中辺の計算を $R$ と置きます。
すると、

<tex>
R 
&= (I + \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2) N_2 (I - \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2) \\
&= N_2 + \sin \alpha (N_1 N_2 -N_2 N_1) + (1- \cos \alpha)(N_1^2 N_2 + N_2 N_1^2) \\
&- \sin^2 \alpha N_1 N_2 N_1 + \sin \alpha (1 - \cos \alpha) (-N_1^2 N_2 N_1+N_1 N_2 N_1^2) + (1 - \cos \alpha)^2 N_1^2 N_2 N_1^2 \tag{##}
</tex>

ここで、

<tex>
N_1 N_2 -N_2 N_1 = K \tag{##}
</tex>

更に、

<tex>
N_1 K -K N_1 = L \tag{##}
</tex>

とすると、計算の後に

<tex>
L = (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2) N_1- N_2 \tag{##}
</tex>

が分かります。また、

<tex>
N_2 N_1 = \bm{n}_1 \bm{n}_2 - (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)I \tag{##}
</tex>

となります。ここから、

<tex>
N_1 N_2 N_1 
&= N_1 \bm{n}_1 \bm{n}_2 - (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 \\
&= (\bm{n}_1 \times \bm{n}_1) \bm{n}_2 - (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 \\
&= - (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 \tag{##}
</tex>

であります。

<tex>
N_1^3 = -N_1 \tag{##}
</tex>

も言えます。

さて、これらを用いて式 $(19)$ を変形していきます。

<tex>
R 
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)(2 N_1 N_2 N_1+ N_1 K- K N_1) + \sin^2 \alpha (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 \\
&+ \sin \alpha (1 - \cos \alpha) (N_1 (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2) N_1 -(\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2) N_1 N_1) - (1 - \cos \alpha)^2 N_1 (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 N_1 \\
&= N_2 + \sin \alpha K - 2(1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1+ (1- \cos \alpha)L \\
&+ \sin^2 \alpha (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 - (1 - \cos \alpha)^2 (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1^3 \\
&= N_2 + \sin \alpha K +(- 2+ 2 \cos \alpha + \sin^2 \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1+ (1- \cos \alpha)L - (1 - \cos \alpha)^2 (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1^3 \\
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)L -(1- \cos \alpha)^2(\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 + (1 - \cos \alpha)^2 (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 \\
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)L \\
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)((\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2) N_1- N_2) \\
&= (1-(1-\cos \alpha))N_2  + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2) N_1 + \sin \alpha K \\
&= \cos \alpha N_2  + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2) N_1 + \sin \alpha K \\
\tag{##}
</tex>

よって、無事に式 $(18)$ を示せました。
お疲れ様でした。それでは、今日はこの辺で。

.. _続ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot2/
.. _続々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot3/

@@author:クロメル@@
@@accept:2017-09-07@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:rotOfNewAxisAndOldAxis@@
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