物理のかぎしっぽ 記事ソース/ラグランジュ微分

記事ソース/ラグランジュ微分

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記事ソースの内容

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ラグランジュ微分(実質微分/水理学的微分)
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ここでは、流体力学が抱える最大の問題、ミレニアム懸賞問題の
一つにも数えられている「ナビエ-ストークス方程式」を
記述する際に非常に重要な概念となる、
ラグランジュ微分(実質微分/水理学的微分)に触れていきたい
と思います。


流体粒子の動き
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著者が土木を専攻しているので、流体の中でも特に水の
挙動について考えていきます
(空気等でもアイデアは変わらないと思いますが)。

ある物理量 $u(t, x, y, z)$ が存在し、時刻 $dt$ が経過したとき、
それが $u(t+dt, x+dx, y+dy, z+dz)$ を持つとします。
このとき、その差 $u'$ は次のように定義されます。
<tex>
u'=u(t+dt, x+dx, y+dy, z+dz)-u(t, x, y, z)
</tex>
すると、1次近似までのテイラー展開より
<tex>
u'=du/dt*dt+du/dx*dx+du/dy*dy+du/dz*dz
</tex>
(ラウンドが記入できなかったので偏微分を $d$ としていますが
ご容赦を)
微小時間に注目すると $x, y, z$ 方向の速度を
それぞれ $u, v, w$ とすると
<tex>
dx=udt, dy=vdy, dz=wdz
</tex>
より
<tex>
u'/dt=du/dt+u*du/dx+v*du/dy+w*du/dz
</tex>
ここで $dt$ を $0$ に近づける時の
左辺の極限値が $Du/Dt$ と定義され、
ラグランジュ微分と呼ばれています。
<tex>
Du/Dt:=u'/dt+u*du/dx+v*du/dy+w*du/dz
</tex>
この微分形式は、流体の物理量が3次元の位置と
時間の4次元の量に依存していることを意味し、
流体中の物質移動などの記述にも用いられています。
さらに特出的なのは、この微分が、現在も未解決とされている
数学史上最大の偏微分方程式、「ナビエ-ストークス方程式」を
構成する重要なコンポーネントになっていることです(本来は
物理量 $u, v, w$ について議論するので、3次元ベクトルの
ラグランジュ微分を用いますが)。


あとがき
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かなり雑に、ラグランジュ微分のアイデアを書きました。
重要ではありますが、流体中の物理量が4次元空間に依存している
ことをかなり簡単に、そして十分に理解できる範囲で記述した
式であると著者は考えています。
何度も書きますが、ここから派生するNS方程式が
一般解を与えることが証明できれば、
流体の動きを完全に理解することになり、何より賞金100万ドルです。
NS方程式についても書いてみますので、解ける!
という方は是非ともクレイ数学研究所へ。

@@author: とり@@
@@accept: 2018-03-28@@
@@category: 流体力学@@
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