物理のかぎしっぽ 記事ソース/スピンの回転の数理

記事ソース/スピンの回転の数理

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記事ソースの内容

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スピンの回転の数理
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この記事は、スピノールの回転がなぜ

<tex>
\exp \left( - \dfrac{i \alpha}{2} (\bm{n} \cdot \bm{\sigma}) \right)
\tag{##}
</tex>

で実現できるかを示します。 $\bm{n}=(n_x,n_y,n_z)$ であり、絶対値 $|\bm{n}|=1$ で $\bm{n}$ の方向が回転軸の方向です。(右ねじの関係です。)そして、 $\alpha$ が回転角の大きさです。私の 以前の記事_ では、『EMANの物理学』さんの スピノールの記事_ を引用しましたが、EMANさんはz軸方向の回転のみをお扱いになっておられたので、他の軸の回転も含めて理由を説明したいと思います。

無限小回転と有限回転
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何らかのパラメータ $\phi$ を持った関数 $f(\phi)$ の微小回転は、

<tex>
f(\phi + d \phi) = \left( 1+d \phi \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right) f(\phi)
\tag{##}
</tex>

で表現できます。

パラメータ増分 $\phi_0$ の有限回転にするには、これを $\phi_0/d \phi$ 回行い、 $d \phi \to 0$ に近づけます。

<tex>
f(\phi + \phi_0) 
&= \lim_{d \phi \to 0} \left( 1+d \phi \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right)^{\phi_0/d \phi} f(\phi) \\
&= \exp \left( \phi_0 \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right) f(\phi) 
\tag{##}
</tex>

これは後で使います。

任意方向のスピノール
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パウリ行列を

<tex>
\bm{\sigma} &= (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)  \\
\sigma_x &= 
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
\sigma_y &= 
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} \\
\sigma_z &= 
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

とします。ここで、 $(\theta , \phi)$ 方向を向いたスピノール $| \chi \rangle $ を考えます。
それは、

<tex>
| \chi \rangle = 
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

となります。これは、スピノールの向く方向を表す単位ベクトル $\bm{n}$ を使った固有値問題、

<tex>
(\bm{n} \cdot \bm{\sigma}) | \chi \rangle = \lambda | \chi \rangle 
\tag{##}
</tex>

の固有スピノールです。

接スピノールを集める(z軸周り)
================================

ここで、 $| \chi \rangle$ の偏微分を考えます。 $\dfrac{\partial}{\partial \phi}$ は解釈がしやすいです。
やってみましょう。

<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \phi} 
&= -\dfrac{i}{2}
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
-\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&= -\dfrac{i}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&= -\dfrac{i}{2} \sigma_z | \chi \rangle
\tag{##}
</tex>

よって、 $z$ 軸周りの角度 $\alpha_z$ 回転は、

<tex>
| \chi(\theta, \phi + \alpha_z) \rangle 
&= \lim_{d \phi \to 0} \left( 1 + d \phi \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right)^{\alpha_z/d \phi} | \chi(\theta, \phi) \rangle \\
&= \exp \left( \alpha_z \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right) | \chi(\theta, \phi) \rangle \\
&= \exp \left( - \dfrac{i}{2} \alpha_z \sigma_z \right) | \chi(\theta, \phi) \rangle 
\tag{##}
</tex>

ですから、

<tex>
Z(\alpha_z) 
&\equiv \exp \left( - \dfrac{i}{2} \alpha_z \sigma_z \right) \\
&= 
\begin{pmatrix}
e^{- i \alpha_z /2} & 0 \\
0 & e^{ i \alpha_z /2} 
\end{pmatrix}
</tex>

接スピノールを集める(y軸周り)
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次に、 $\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta}$ を求めます。

ここで、パラメータを設定しておきます。詳しくは図を見てください。

.. image :: chromel-spinRotation2-01.png

ここで $x$ 系は空間の基本的な枠組みでそこでスピノールの向きが指定されます。
一方、 $x^\prime$ 系はスピノールの $\phi$ 方向を $x^\prime$ 軸に合わせたものです。
つまり、いつスピノールを見ても、 $x^\prime z^\prime$ 平面にスピノールがあります。

何を意図しているか言ってしまうと、 $x$ 系は演算 $\sigma_i$ と深い関係があり、 $x^\prime$ 系は $\dfrac{\partial}{\partial \theta},\dfrac{\partial}{\partial \phi},\dfrac{\partial}{\partial \psi}$ と関係が深いです。

ここで、 複雑な回転を単純な回転で表す方法_ を知っていると分かりやすいですが、
一応、こちらで必要な分だけ説明しようと思います。

今、 $\sigma_z$ は $z$ 軸周りの回転 $\phi$ での微分を表すのでした。
同様に、 $\sigma_y$ は $y$ 軸周りの回転方向の接スピノールを得る操作と考えられます。
しかし、今回は $\dfrac{\partial}{\partial \theta}$ は $y^\prime$ 軸周りの回転方向の接スピノールを得る操作を表します。
なぜならば、 $\theta$ はスピノールの向きを表していて、その向きから $d \theta$ だけ変化する方向を考えるからです。
ここで、以下の操作を考えます。

<tex>
Z(\phi) \left( - \dfrac{i}{2} \sigma_y \right) Z(- \phi) | \chi(\theta,\phi) \rangle
\tag{##}
</tex>

この操作は $\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta}$ を表しています。

1.まず、 $| \chi \rangle$ があります。

2.これを $z$ 軸周りに $-\phi$ だけ回転させて、$xz$ 平面内にスピノルを持ってきます。

3.ここで $\dfrac{\partial}{\partial \theta_0} = - \dfrac{i}{2} \sigma_y$ を施し、 $\theta_0$ 方向の接スピノールを求めます。

4.最後に $z$ 軸周りに $\phi$ だけ回転させて、 $\dfrac{\partial}{\partial \theta}$ を施した $\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta}$ を得ます。

つまり、この一連の操作は、 $y^\prime$ 周りの回転 $\theta$ 方向への接スピノールを求めたことになります。

<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta} 
&= Z(\phi) \left( - \dfrac{i}{2} \sigma_y \right) Z(- \phi) | \chi(\theta,\phi) \rangle \\
&= 
\begin{pmatrix}
e^{-i \phi /2} & 0 \\
0 & e^{i \phi /2} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -1/2 \\
1/2 & 0 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i \phi /2} & 0 \\
0 & e^{-i \phi /2} 
\end{pmatrix} | \chi(\theta,\phi) \rangle \\
&= \dfrac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & -e^{-i \phi} \\
e^{i \phi} & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{2}
\begin{pmatrix}
- \sin \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

の関係があります。これで、 $\theta$ 方向の接スピノールも得られました。

確認をしておくと、実際、スピノールを微分した結果と比べると、

<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta}
&= 
\begin{pmatrix}
\partial_\theta \cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\partial_\theta \sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{2}
\begin{pmatrix}
- \sin \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix}
</tex>

と一致します。

接スピノールを集める(x軸周り)
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最後に $\psi$ の接スピノールです。これは、最初分かりませんでした。
でも、こう考えればよいです。

さっき、 $y^\prime$ 軸周りの回転を表すのに $-\phi$ 回転させ、 $y^\prime$ 軸を $y$ 軸にもってきました。
今度は、 $\dfrac{\pi}{2}-\phi$ 回転させて、 $\theta_0$ 軸周りに $ - \dfrac{i}{2} \sigma_y$ で接スピノールを求め、
最後に $-\dfrac{\pi}{2}+\phi$ 回転させたものが、 $\dfrac{\partial}{\partial \psi}$ となります。つまり、 $x^\prime$ 軸周りの回転方向の接スピノールが求まった訳です。

.. image :: chromel-spinRotation2-02.png

よって、今度は、

<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \psi} 
&= Z(-\dfrac{\pi}{2}+\phi) \left( - \dfrac{i}{2} \sigma_y \right) Z(\dfrac{\pi}{2} - \phi) | \chi(\theta,\phi) \rangle \\
&=
\begin{pmatrix}
e^{-i(-\pi/4 + \phi /2)} & 0 \\
0 & e^{i(-\pi/4 + \phi /2)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -1/2 \\
1/2 & 0 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{-i(\pi/4 - \phi /2)} & 0 \\
0 & e^{i(\pi/4 - \phi /2)}
\end{pmatrix}| \chi(\theta,\phi) \rangle \\
&=
\begin{pmatrix}
e^{-i \phi /2} & 0 \\
0 & e^{i \phi /2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -i/2 \\
-i/2 & 0 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\phi /2} & 0 \\
0 & e^{-i\phi /2}
\end{pmatrix} \\
&= 
Z(\phi)\left(- \dfrac{i}{2} \sigma_x \right)Z(-\phi) | \chi(\theta,\phi) \rangle
\tag{##}
</tex>

が間接的にではありますが、示せました。

最初の $z$ 軸周りの接スピノールも形式を揃えて、リストにすると、

<tex>
\dfrac{\partial}{\partial \psi} &= Z(\phi)\left(- \dfrac{i}{2} \sigma_x \right)Z(-\phi) \\
\dfrac{\partial}{\partial \theta} &= Z(\phi)\left(- \dfrac{i}{2} \sigma_y \right)Z(-\phi) \\
\dfrac{\partial}{\partial \phi} &= Z(\phi)\left(- \dfrac{i}{2} \sigma_z \right)Z(-\phi)
\tag{##}
</tex>

となる訳です。(左辺は一応行列だと思います。スカラーとして $Z$ を左辺に移すとスカラーだった場合、 $Z(-\phi)Z(\phi)=E$ で打ち消されてしまうから、 $\dfrac{\partial}{\partial \psi} = - \dfrac{i}{2} \sigma_x$ という間違った数式になるからです。ここらへんは難しいです。。)

本題
==================

ここで、微小回転 $R(\bm{n},d\alpha)$ を、回転軸の方向を持つ単位ベクトル $d \alpha \bm{n} = d \alpha (n_x,n_y,n_z)$ ( $d \alpha$ は微小回転角)を用いて表せて、

<tex>
R(\bm{n},d\alpha) &= d \alpha \left( n_x \dfrac{\partial}{\partial \psi_0} + n_y \dfrac{\partial}{\partial \theta_0} + n_z \dfrac{\partial}{\partial \phi_0} \right) \\
&= d \alpha Z(-\phi) \left( n_x \dfrac{\partial}{\partial \psi} + n_y \dfrac{\partial}{\partial \theta} + n_z \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right)Z(\phi) \\
&= -\dfrac{i}{2} d \alpha (n_x \sigma_x +n_y \sigma_y +n_z \sigma_z) \\
&= -\dfrac{i}{2} (\bm{n} \cdot \bm{\sigma}) d \alpha \\
&\equiv R d \alpha
\tag{##}
</tex>

となります。注意として微小回転ならば、有限回転と違って足し合わせるし、可換になります。

後は、 $\bm{n}$ 軸周りの微小回転が表現できたので、

<tex>
R(\bm{n},\alpha) 
&= \lim_{d \alpha \to 0}(1+R d \alpha )^{\alpha/d \alpha} \\
&= \exp \left( - \dfrac{i \alpha}{2} (\bm{n} \cdot \bm{\sigma}) \right)
\tag{##}
</tex>

これがスピノールを回転軸 $\bm{n}$ として、その方向を右ねじが進む方向に一致させた回転角 $\alpha$ だけ回転させる演算です。
それでは今日はここまで。お疲れ様でした。

.. _以前の記事: http://hooktail.sub.jp/quantum/spinRotation/
.. _複雑な回転を単純な回転で表す方法: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/rotOfNewAxisAndOldAxis/
.. _スピノールの記事: http://eman-physics.net/quantum/spinor.html



@@author:クロメル@@
@@accept:2020-06-14@@
@@category:量子力学@@
@@id:spinRotation2@@
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