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無限等比級数の和
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初項 $a_1$ ，公比 $r$ の等比数列 $a_n$ において， $-1<r<1$ のとき
<tex>
\sum^\infty_{n=1}a_n=\frac{a_1}{1-r}
</tex>
という公式が成り立ちます．等比数列をずっとずっと足しあわせていったら，
上の式の右辺になるというのです．
無限に足しあわせたのに一定の値になる（収束する）というのはちょっとフシギな感じがします．
導きかた
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この公式を導くのは簡単です．等比数列の和の公式
<tex>
a_n = a_1 r^{n-1} \tag{1}
</tex>
<tex>
S_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} \qquad (r\ne1) \tag{2}
</tex>
<tex>
S_n = a_1n \qquad (r=1) \tag{3}
</tex>
を思い出します．式(2)において， $-1<r<1$ のときは
<tex>
\lim_{n\to \infty}r^n=0
</tex>
が言いえます．たとえば $r=0.5$ の場合，
$0.5 \times 0.5 = 0.25, 0.25 \times 0.5 = 0.125, \dots$ と，
掛け続けるといつかはゼロになりそうです．
上の式は，絶対値が 1 より小さい数を永遠に掛け続けて行くと，
いつかゼロになるということです．そうすると式(2)は
<tex>
\lim_{n\to \infty}S_n &=\lim_{n\to \infty}\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}\\
&= \frac{-a_1}{r-1}\\
&= \frac{a_1}{1-r}
</tex>
となります．無限等比級数の和が収束するのは，
足しあわせる数の値がだんだん小さくなって，いつかはゼロになるからです．
もちろん， $ -1<r<1$ のとき，という条件つきですが．
例
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数列
<tex>
1+e+e^2+e^3+\cdots
</tex>
は初項 1，公比 $e$ の等比級数です．もしも $ -1<e<1$ ならば
<tex>
1+e+e^2+e^3+\cdots=\frac{1}{1-e}
</tex>
と有限の値に収束します．この逆の，
<tex>
\frac{1}{1-e}=1+e+e^2+e^3+\cdots
</tex>
という関係も覚えておくと便利なことがあります．
@@author:崎間@@
@@accept:2003-05-02@@
@@category:物理数学@@
@@id:infGeoProgres@@
記事ソース/無限等比級数の和 の変更点
