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記事ソース/無限等比級数の和†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細). コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容=================== 無限等比級数の和 =================== 初項 $a_1$ ,公比 $r$ の等比数列 $a_n$ において, $-1<r<1$ のとき <tex> \sum^\infty_{n=1}a_n=\frac{a_1}{1-r} </tex> という公式が成り立ちます.等比数列をずっとずっと足しあわせていったら, 上の式の右辺になるというのです. 無限に足しあわせたのに一定の値になる(収束する)というのはちょっとフシギな感じがします. 導きかた ------------- この公式を導くのは簡単です.等比数列の和の公式 <tex> a_n = a_1 r^{n-1} \tag{1} </tex> <tex> S_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} \qquad (r\ne1) \tag{2} </tex> <tex> S_n = a_1n \qquad (r=1) \tag{3} </tex> を思い出します.式(2)において, $-1<r<1$ のときは <tex> \lim_{n\to \infty}r^n=0 </tex> が言いえます.たとえば $r=0.5$ の場合, $0.5 \times 0.5 = 0.25, 0.25 \times 0.5 = 0.125, \dots$ と, 掛け続けるといつかはゼロになりそうです. 上の式は,絶対値が 1 より小さい数を永遠に掛け続けて行くと, いつかゼロになるということです.そうすると式(2)は <tex> \lim_{n\to \infty}S_n &=\lim_{n\to \infty}\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}\\ &= \frac{-a_1}{r-1}\\ &= \frac{a_1}{1-r} </tex> となります.無限等比級数の和が収束するのは, 足しあわせる数の値がだんだん小さくなって,いつかはゼロになるからです. もちろん, $ -1<r<1$ のとき,という条件つきですが. 例 ------------- 数列 <tex> 1+e+e^2+e^3+\cdots </tex> は初項 1,公比 $e$ の等比級数です.もしも $ -1<e<1$ ならば <tex> 1+e+e^2+e^3+\cdots=\frac{1}{1-e} </tex> と有限の値に収束します.この逆の, <tex> \frac{1}{1-e}=1+e+e^2+e^3+\cdots </tex> という関係も覚えておくと便利なことがあります. @@author:崎間@@ @@accept:2003-05-02@@ @@category:物理数学@@ @@id:infGeoProgres@@ |