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定数係数1階線形微分方程式
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微分方程式というのは，その名の通り方程式に微分が入っている，
つまり導関数が入っている方程式のことです．
いろいろな形（ 変数分離形_ など）があるのですが，ここではつぎのようなものを学びます．
$a$ を定数， $Q(x)$ をある連続な関数とするとき，
$x$ の関数である未知関数 $y$ と，その導関数 $dy/dx$ に関して1次式である，
<tex>
\frac{dy}{dx}+ay=Q(x) \tag{1}
</tex>
のうな形で表される微分方程式です．
これを，定数係数1階線形微分方程式といいます．
この形の微分方程式について，これからお話します
（え，なぜかって？そりゃあ，よく使うからですよ♪）．
定数係数1階線形微分方程式の解の公式
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いきなりですが，いま考えている微分方程式の解の公式を示します．式 (1)
<tex>
\frac{dy}{dx}+ay=Q(x)
</tex>
の一般解は
<tex>
y=e^{-ax}\left\{\int e^{ax}Q(x)\,dx + C\right\} \tag{2}
</tex>
で与えられます．ここで $C$ は任意定数です．
未知関数 $y$ についての微分方程式を「解く」とは，
おおざっぱに言うと $y=$ の形に持って行く，ということです．
ですから，式 (1) が式 (2) に変形できることが分かっていれば，
これはもう，いつでも解けるわけです．
といっても，こんな公式を丸暗記していたら大変です．
手順を理解し，いつでも導出できるようにすることが重要です．
導出
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ではここで，式 (2) を導出してみます．
まず，積分を簡単にするために式 (1) の左辺
<tex>
\frac{dy}{dx}+ay
</tex>
を
<tex>
\frac{d}{dx}F(x)
</tex>
のような，「ある一つの関数 $F(x)$ の微分」の形に変形することを考えます．
そのために，式 (1) の両辺に $e^{ax}$ をかけますと
<tex>
e^{ax}\frac{dy}{dx}+ae^{ax}y=e^{ax}Q(x)
</tex>
となります．ここで， $e^{ax}$ の微分が $ae^{ax}$ となる性質を思い出します．
すなわち上式は
<tex>
e^{ax}\frac{dy}{dx}+\left(\frac{d}{dx}e^{ax}\right)y=e^{ax}Q(x) \tag{3}
</tex>
と変形できることになります．ここまで，よろしいでしょうか．
さらにもう一つ，積の微分公式
<tex>
\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}
</tex>
を式 (3) の左辺に適用します．すると
<tex>
e^{ax}\frac{dy}{dx}+\left(\frac{d}{dx}e^{ax}\right)y=\frac{d}{dx}\left(e^{ax}y\right)
</tex>
がいえます．これは最初目指していた形です．ですから結局，式 (3) は
<tex>
\frac{d}{dx}\left(e^{ax}y\right)=e^{ax}Q(x)
</tex>
という形になるのです．ここまでくれば簡単，あとは両辺を $x$ で積分して
<tex>
e^{ax}y=\int e^{ax}Q(x)\,dx+C \tag{4}
</tex>
が得られます．ここで $C$ は任意定数です．
左辺を「ある一つの関数 $F(x)$ の微分」という形に
変形したかった理由は，このように両辺を一気に積分したかったからです．
この方法は一般的に良く使うテクニックですので，憶えていておいて損はないでしょう．
最後に，式 (4) の両辺に $e^{-ax}$ をかけますと，
<tex>
y=e^{-ax}\left\{\int e^{ax}Q(x)\,dx + C\right\}
</tex>
という，最初に示した式 (2) が得られるのです．
解の解釈
^^^^^^^^^^^^^
補足です． $\frac{dy}{dx}+ay=Q(x)$ において $Q(x)=0$ の場合，すなわち
<tex>
\frac{dy}{dx}+ay=0
</tex>
の場合があります．これは同次方程式と呼ばれ， 変数分離形_ になります．
他方， $Q(x)\ne0$ の場合は非同次方程式と呼ばれます．
同次方程式の一般解 $Ce^{-ax}$ （ $Q(x)$ の形と独立な解）と，
非同次方程式の特殊解 $e^{-ax}\int e^{ax}Q(x)\,dx$ （ $Q(x)$ の形に依存する解）
の線形結合が，式 (2) の一般解になっています．
例題
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それでは，簡単な例題を示しておきます．
例題1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
つぎの定数係数1階線形微分方程式（長い名前だ…）
<tex>
\frac{dy}{dx}+5y=6e^x
</tex>
の一般解を求めます．まず，さきほどの導出の手順にしたがって，
両辺に $e^{5x}$ をかけます．すると
<tex>
\frac{d}{dx}\left(e^{5x}y\right)=6e^{6x}
</tex>
となります（ここで一気に積の微分公式による変形も行っています）．
上式の両辺を $x$ で積分して
<tex>
e^{5x}y=\int 6e^{6x}\,dx+C
</tex>
となり（ $C$ は任意定数），さらに両辺に $e^{-5x}$ をかけると
<tex>
y&=e^{-5x}\left\{\int 6e^{6x}\,dx+C\right\}\\
&=e^{-5x}\left\{e^{6x}+C\right\}\\
&=e^x+Ce^{-5x}
</tex>
という一般解を得ます．
例題2
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速さ $v$ に比例する抵抗が働くとき，質点の鉛直方向の運動方程式は
<tex>
m\frac{dv}{dt}=-\kappa v+mg
</tex>
と表せます．ここで $m$ を質点の質量， $g$ を重力加速度としています．
この運動方程式は 変数分離形_ として解くこともできますが，
定数係数1階線形微分方程式であるとも言えますので，これまでの方法で解いてみます．
式を少し変形して
<tex>
\frac{dv}{dt}+\frac{\kappa v}{m}=g
</tex>
両辺に $e^{\kappa t/m}$ をかけ，積の微分公式から整理すると
<tex>
\frac{d}{dt}\left(e^{\kappa t/m}v\right)=ge^{\kappa t/m}
</tex>
両辺を $t$ で積分して
<tex>
e^{\kappa t/m}v=\int e^{\kappa t/m}g\,dt+C
</tex>
を得，両辺に $e^{-\kappa t/m}$ をかけると
<tex>
v&=e^{-\kappa t/m}\left\{\int e^{\kappa t/m}g\,dt+C\right\}\\
&=Ce^{-\kappa t/m}+\frac{mg}{\kappa}
</tex>
という速度の一般解を得ます．ここで $C$ は任意定数です．
ちなみにこういった任意定数は，初期条件に依って決まります．
この例題について詳しくは， 抵抗力のある落下運動_ をご覧ください．
.. _変数分離形: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/separatVariables/
.. _抵抗力のある落下運動: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/resistdown/
@@author:おこめ・崎間@@
@@accept:2005-01-01@@
@@category:物理数学@@
@@id:constOneLinearDiffEq@@
記事ソース/定数係数1階線形微分方程式 の変更点
