#rst2hooktail_source
====================================================
渦度ベクトルと循環
====================================================
ベクトル場 $\bm{u}$ が流れ場を意味するとき、次式で定義されるベクトルを *渦度ベクトル* と呼びます。
<tex>
\bm{\omega} = \nabla \times \bm{u} \tag{1}
</tex>
渦度ベクトルの各座標成分は、座標軸に直交する平面内の渦度を表わしています。（例えば、 $\bm{\omega}$ の $x$ 成分は $yz$ 平面内の渦度を表わします。 rot_ を参照して下さい。）また、 $\bm{\omega}$ の流線を *渦線* と呼び、 $\bm{\omega}$ の流管を *渦管* と呼びます。渦線の方程式は次のように与えられます。
<tex>
\frac{dx}{\omega_{1}} = \frac{dy}{\omega_{2}} = \frac{dz}{\omega_{3}} \tag{2}
</tex>
渦糸は、渦管の無限に細いものだと考えることも出来ます。粘性抵抗の働かない流体（完全流体と呼びます）においては、渦は消えたり生まれたりしないことが知られており、 *渦は不生不滅* などと言われます。
.. [*] この定理は、ラグランジェの定理、ケルビンの定理、ヘルムホルツの定理などとも呼ばれます。これらの定理は、多少表現が異なりますが、結局、渦の不生・不滅を主張するものです。ここではあまり詳しい説明はしませんので、興味のある人は流体力学の教科書を参考にしてみて下さい。
循環
==========================================================
流れ場の中のある閉曲線 $C$ に沿って、 $C$ の接線速度を周回積分したものを *循環* と呼びます。循環は、ストークスの定理を用いると、渦度ベクトルの面積分に直すことも出来ます。
<tex>
\Gamma &= \ointop \limits _{C} \bm{V} \cdot d\bm{l } \\
&= \int \int \limits _{S} (\nabla \times \bm{V}) \cdot d\bm{S} \\
&= \int \int \limits _{S} \bm{\omega} \cdot d\bm{S} \tag{3}
</tex>
三行目で、任意に渦管を取るとき、その断面で循環の大きさは常に同じだということが言えます。（流管の断面を単位時間当たりに過ぎる流量が一定であることと、基本的には同じ理屈です。 ベクトル場の流束と流管_ を参照して下さい。）特に、渦糸は断面積が無限に小さい渦管と見なせますので、その断面の曲率を無視して断面積を ${\sigma} $ とし、 $\omega = |\bm{\omega}|$ とすると次式が成り立ちます。
<tex>
\Gamma = \omega \sigma \tag{4}
</tex>
この $ \omega \sigma $ を *渦糸の強さ* と呼びます。渦や渦糸の話題は尽きませんが、 詳しくは流体力学の解説を見て下さい。この記事は、ベクトルの回転、ストークスの定理、流線、流管といった概念の応用例として、渦と循環をほんの少しだけ取り上げてみました。（いずれ、流体力学の記事もきちんと書くかも知れません。）
.. _rot: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/VectorRotation/
.. _ベクトル場の流束と流管: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/VectorFieldFlux/
@@author:Joh@@
@@accept: @@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: VortexCirculation@@
記事ソース/渦度ベクトルと循環 の変更点
