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記事ソース/渦度ベクトルと循環†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細). コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容==================================================== 渦度ベクトルと循環 ==================================================== ベクトル場 $\bm{u}$ が流れ場を意味するとき、次式で定義されるベクトルを *渦度ベクトル* と呼びます。 <tex> \bm{\omega} = \nabla \times \bm{u} \tag{1} </tex> 渦度ベクトルの各座標成分は、座標軸に直交する平面内の渦度を表わしています。(例えば、 $\bm{\omega}$ の $x$ 成分は $yz$ 平面内の渦度を表わします。 rot_ を参照して下さい。)また、 $\bm{\omega}$ の流線を *渦線* と呼び、 $\bm{\omega}$ の流管を *渦管* と呼びます。渦線の方程式は次のように与えられます。 <tex> \frac{dx}{\omega_{1}} = \frac{dy}{\omega_{2}} = \frac{dz}{\omega_{3}} \tag{2} </tex> 渦糸は、渦管の無限に細いものだと考えることも出来ます。粘性抵抗の働かない流体(完全流体と呼びます)においては、渦は消えたり生まれたりしないことが知られており、 *渦は不生不滅* などと言われます。 .. [*] この定理は、ラグランジェの定理、ケルビンの定理、ヘルムホルツの定理などとも呼ばれます。これらの定理は、多少表現が異なりますが、結局、渦の不生・不滅を主張するものです。ここではあまり詳しい説明はしませんので、興味のある人は流体力学の教科書を参考にしてみて下さい。 循環 ========================================================== 流れ場の中のある閉曲線 $C$ に沿って、 $C$ の接線速度を周回積分したものを *循環* と呼びます。循環は、ストークスの定理を用いると、渦度ベクトルの面積分に直すことも出来ます。 <tex> \Gamma &= \ointop \limits _{C} \bm{V} \cdot d\bm{l } \\ &= \int \int \limits _{S} (\nabla \times \bm{V}) \cdot d\bm{S} \\ &= \int \int \limits _{S} \bm{\omega} \cdot d\bm{S} \tag{3} </tex> 三行目で、任意に渦管を取るとき、その断面で循環の大きさは常に同じだということが言えます。(流管の断面を単位時間当たりに過ぎる流量が一定であることと、基本的には同じ理屈です。 ベクトル場の流束と流管_ を参照して下さい。)特に、渦糸は断面積が無限に小さい渦管と見なせますので、その断面の曲率を無視して断面積を ${\sigma} $ とし、 $\omega = |\bm{\omega}|$ とすると次式が成り立ちます。 <tex> \Gamma = \omega \sigma \tag{4} </tex> この $ \omega \sigma $ を *渦糸の強さ* と呼びます。渦や渦糸の話題は尽きませんが、 詳しくは流体力学の解説を見て下さい。この記事は、ベクトルの回転、ストークスの定理、流線、流管といった概念の応用例として、渦と循環をほんの少しだけ取り上げてみました。(いずれ、流体力学の記事もきちんと書くかも知れません。) .. _rot: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/VectorRotation/ .. _ベクトル場の流束と流管: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/VectorFieldFlux/ @@author:Joh@@ @@accept: 2006-10-11@@ @@category: ベクトル解析@@ @@id: VortexCirculation@@ |