物理のかぎしっぽ 記事ソース/ベクトル場から積分曲線を求める方法 の変更点

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 ベクトル場から積分曲線を求める方法
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 この記事では、拙記事 微分幾何学における流れの具体例_ を書いた時点では不明だった
 積分曲線を求める方法を書きます。
 
 前記事における例5
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 <tex>
 X = \dfrac{\partial}{\partial x_0} + x_0 \dfrac{\partial}{\partial y_0} \tag{##}
 </tex>
 
 から
 
 <tex>
 \sigma
 =
 \begin{pmatrix}
 x_0 + t \\
 x_0t +\dfrac{t^2}{2} + y_0
 \end{pmatrix} \tag{##}
 </tex>
 
 を求めたい訳です。
 結論から言うと、地道に連立微分方程式を解くことで解は得られます。
 どの本にも載っていない気がしたのですが、ふたを開けてみればそういうことでした。
 
 早速やってみましょう。
 
 積分曲線 $\sigma^\mu$ を次の様に置きます。
 
 <tex>
 \sigma(t) = 
 x_0
 \begin{pmatrix}
 f_{x1}(t) \\
 f_{x2}(t)
 \end{pmatrix}
 +y_0
 \begin{pmatrix}
 f_{y1}(t) \\
 f_{y2}(t)
 \end{pmatrix}
 +
 \begin{pmatrix}
 f_{c1}(t) \\
 f_{c2}(t)
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 そして、この初期条件は
 
 <tex>
 \sigma(0) = 
 \begin{pmatrix}
 x_0 \\
 y_0
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 となります。
 すると、ベクトル場を計算すると、 $\sigma(t)$ に $X$ を作用させればよく、
 
 <tex>
 X(\sigma(t)) = 
 \begin{pmatrix}
 f_{x1}(t) \\
 f_{x2}(t)
 \end{pmatrix}
 +x_0
 \begin{pmatrix}
 f_{y1}(t) \\
 f_{y2}(t)
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 です。積分曲線とは、
 
 <tex>
 \dfrac{d \sigma}{dt} = X(\sigma)
 \tag{##}
 </tex>
 
 を満たす曲線の事なので、 $\dfrac{d \sigma}{dt}$ を計算すると、
 
 <tex>
 \sigma(t) = 
 \dfrac{d \sigma}{dt}(t) = 
 x_0
 \begin{pmatrix}
 f^\prime_{x1}(t) \\
 f^\prime_{x2}(t)
 \end{pmatrix}
 +y_0
 \begin{pmatrix}
 f^\prime_{y1}(t) \\
 f^\prime_{y2}(t)
 \end{pmatrix}
 +
 \begin{pmatrix}
 f^\prime_{c1}(t) \\
 f^\prime_{c2}(t)
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 式 $(6)$ の両辺を比較すると、
 
 <tex>
 &x_0
 \begin{pmatrix}
 f^\prime_{x1}(t) \\
 f^\prime_{x2}(t)
 \end{pmatrix}
 = x_0
 \begin{pmatrix}
 f_{y1}(t) \\
 f_{y2}(t)
 \end{pmatrix} \\
 &y_0
 \begin{pmatrix}
 f^\prime_{y1}(t) \\
 f^\prime_{y2}(t)
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
 0 \\
 0
 \end{pmatrix} \\
 &\begin{pmatrix}
 f^\prime_{c1}(t) \\
 f^\prime_{c2}(t)
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
 f_{x1}(t) \\
 f_{x2}(t)
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 まず、 $\sigma$ の $x$ 成分から求めましょう。上段の事です。
 
 <tex>
 f^\prime_{x1} &= f_{y1} \\
 f^\prime_{y1} &= 0 \\
 f^\prime_{c1} &= f_{x1} \\
 f_{x1}(t=0) &= 1 \\
 f_{y1}(t=0) &= 0 \\
 f_{c1}(t=0) &= 0
 \tag{##}
 </tex>
 
 まず、二番目の式から、
 
 <tex>
 f_{y1} = 0
 \tag{##}
 </tex>
 
 一番目から、
 
 <tex>
 f_{x1} = 1
 \tag{##}
 </tex>
 
 最後に、
 
 <tex>
 f_{c1} = t
 \tag{##}
 </tex>
 
 次に下段です。
 
 <tex>
 f^\prime_{x2} &= f_{y2} \\
 f^\prime_{y2} &= 0 \\
 f^\prime_{c2} &= f_{x2} \\
 f_{x2}(t=0) &= 0 \\
 f_{y2}(t=0) &= 1 \\
 f_{c2}(t=0) &= 0
 \tag{##}
 </tex>
 
 同様に解くと、
 
 <tex>
 f_{y2} = 1 \\
 f_{x2} = t \\
 f_{c2} = t^2/2
 \tag{##}
 </tex>
 
 よって、素材が揃ったので $\sigma$ を求めると、
 
 <tex>
 \sigma
 &=
 x_0
 \begin{pmatrix}
 1 \\
 t
 \end{pmatrix}
 +y_0
 \begin{pmatrix}
 0 \\
 1
 \end{pmatrix}
 +
 \begin{pmatrix}
 t \\
 t^2/2
 \end{pmatrix}
 &=
 \begin{pmatrix}
 x_0 + t \\
 x_0t +\dfrac{t^2}{2} + y_0
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 となり、無事求められました。
 今日はここまで。お疲れさまでした!
 
 
 @@reference: 中原幹夫 佐久間一浩,理論物理学のための幾何学とトポロジーI(第二版),ピアソン・エデュケーション社,2018,p193,4535788065@@
 
 .. _微分幾何学における流れの具体例: http://hooktail.sub.jp/diffTopoGeometry/flow/
 
 @@author:クロメル@@
 @@accept:2020-05-24@@
 @@category:微分・位相幾何学@@
 @@id:flow2@@
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