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SU(2)のリー群とリー環について
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この記事ではパウリ行列
<tex>
\sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\
\sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\
\sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
とリー群 $SU(2)$ 、リー環 $\mathfrak{su}(2)$ の関係についてまとめます。
記号は パウリ行列のwikipedia_ に合わせます。
リー環について
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リー環 $\mathfrak{su}(2)$ はリー群のパラメータの無限小変化量に当たります。
（後で示すので、まだわからなくて大丈夫です。）
これが、パウリ行列を使うとうまく表せます。
今回はパウリ行列をそのまま使わないで、ちょっと小細工をして、
全てに $\dfrac{1}{2i}$ を掛けます。
すると、
<tex>
X_1 = \dfrac{1}{2i} \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2i} \\ \dfrac{1}{2i} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\
X_2 = \dfrac{1}{2i} \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\
X_3 = \dfrac{1}{2i} \sigma_3 &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2i} & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{2i} \end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります。これらがリー環 $\mathfrak{su}(2)$ の全ての基底
です。 $\dfrac{1}{2i}$ を掛けると何がうれしいかというと、交換子 $[A,B]=AB-BA$ について、
<tex>
[X_1,X_2] =X_3 \tag{##} \\
[X_2,X_3] =X_1 \tag{##} \\
[X_3,X_1] =X_2 \tag{##}
</tex>
ときれいな関係になります。だから何？と言われそうですが、この辺のことに関しては EMANさんの解説_ を見るといいんじゃないでしょうか？
特殊ユニタリー群 $SU(n)$ に対応するリー環 $\mathfrak{su}(n)$ の元 $X$ は一般に
<tex>
\mathrm{Tr}(X) = 0 \tag{##} \\
X^\dagger = -X \tag{##}
</tex>
を満たします。上付きの $\dagger$ は物理よりの書き方で、複素共役を取って転置したものを
表します。 $X_1,X_2,X_3$ がこれらの関係を満たすことを確認してみてください。
この性質(式(10)と式(11))を言葉でいうと、トレースがゼロの歪エルミート行列と言います。
リー群について
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リー群の元 $g$ とはリー環の元 $X_i$ の線形結合の指数関数を取ったものです。
行列(例えば $A$ とする)の指数関数ということで、 $I$ を単位行列として、
<tex>
\exp A = I + \dfrac{A}{1!} + \dfrac{A^2}{2!} + \dfrac{A^3}{3!} + \dfrac{A^4}{4!} + \cdots \tag{##}
</tex>
となります。ここで $x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z, r = \sqrt{x^2_1 + x^2_2 + x^2_3}$ として、
<tex>
X &= \sum_{i=1}^3 x_i X_i \\
&= \dfrac{1}{2i} \sum_{i=1}^3 x_i \sigma_i \\
&= \dfrac{1}{2i}\begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix} \\
&\equiv \dfrac{1}{2i} \Psi \tag{##}
</tex>
ここで( $\equiv$ )は $\Psi$ の定義を示すものと
します。 $\Psi^2 = r^2 I$ です。
ここで、リー環の指数関数を取ってリー群の元 $g$ を求めてみましょう。
<tex>
g &= \exp \left( \dfrac{1}{2i} \Psi \right) \\
&= I + \dfrac{1}{1!}(\dfrac{1}{2i}) \Psi + \dfrac{1}{2!}(\dfrac{1}{2i})^2 \Psi^2 + \dfrac{1}{3!}(\dfrac{1}{2i})^3 \Psi^3 + \cdots \\
&= \left( I - \dfrac{1}{2!}(\dfrac{r}{2})^2 I + \dfrac{1}{4!}(\dfrac{r}{2})^4 I \cdots \right) \\
&+ \dfrac{1}{2i} \left( \Psi - \dfrac{1}{3!}(\dfrac{r}{2})^2 + \dfrac{1}{5!}(\dfrac{r}{2})^4 + \Psi \right) \\
&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) + \dfrac{1}{2i} \dfrac{2}{r} \left( \Psi - \dfrac{1}{3!}(\dfrac{r}{2})^3 + \dfrac{1}{5!}(\dfrac{r}{2})^5 + \Psi \right) \\
&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) + \dfrac{1}{ir} \sin \left( \dfrac{r}{2} \right) \Psi \\
&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) - \dfrac{i}{r} \sin \left( \dfrac{r}{2} \right) \Psi \tag{##}
</tex>
よって、 $g$ の成分表示をすると、
<tex>
g &= \begin{pmatrix}
\cos(r/2) -(i/r)\sin(r/2)z & -(i/r)\sin(r/2)(x-iy) \\
-(i/r)\sin(r/2)(x+iy) \\ \cos(r/2) +(i/r)\sin(r/2)z
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで、 $i$ 以外は実数ですから、 $\alpha = \cos(r/2) -(i/r)\sin(r/2)z$ 、 $\beta = -(i/r)\sin(r/2)(x+iy)$ と置くと、
<tex>
g &= \begin{pmatrix}
\alpha & -\beta^* \\
\beta & \alpha^*
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで $*$ は複素共役です。
SU(2)の定義
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一方で、 $SU(2)$ の定義として、
<tex>
X^\dagger X = I \tag{##} \\
\mathrm{det} X = 1 \tag{##}
</tex>
となります。
.. _パウリ行列のwikipedia: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%A6%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97
.. _EMANさんの解説: http://eman-physics.net/math/lie07.html
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-09-29@@
@@category:物理数学@@
@@id:lieGandRsu2@@
記事ソース/SU(2)のリー群とリー環について のバックアップ差分(No.1)
