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1/x周辺の積分（log x の近傍で）
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さて、 $\int_1^x dx/x$ はなんでしょう？そうです、 $\log x$ ですね。
今回は、αを-1に近づけたときの $\int_1^x x^{\alpha} dx$ の挙動を調べてみます。
動機
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べき関数の積分に於いて、
<tex>
\int_1^x x^{\alpha} dx
\begin{cases}
\dfrac{x^{\alpha+1}-1}{\alpha+1} \ \ \ \ \ (\alpha \neq -1) \\
\log x \ \ \ \ \ (\alpha = -1) \\
\end{cases}
</tex>
ですが、 $\alpha = -1$ の時だけ別種の関数に見えています。
では、 $\alpha$ を $-1$ とは異なる、しかし、ごく近い実数にしたら、 $\log$ に収束するのか、
調べました。
<tex>
\lim_{\alpha \to -1} \int_1^x x^{\alpha} dx \\
=\lim_{\alpha \to -1} \int_1^x \dfrac{x^{\alpha+1}-1}{\alpha+1} \\
=\lim_{\beta \to 0} \int_1^x \dfrac{x^{\beta}-1}{\beta} \\
=\lim_{\beta \to 0} \int_1^x \dfrac{x^{\beta}-x^0}{\beta-0} \\
=\lim_{\beta \to 0} \int_1^x \dfrac{d}{d \beta} x^{\beta} \\
=\lim_{\beta \to 0} \int_1^x \dfrac{d}{d \beta} e^{\beta \log x} \\
=\lim_{\beta \to 0} \int_1^x \log x e^{\beta \log x} \\
=\lim_{\beta \to 0} \int_1^x x^{\beta} \log x \\
= \log x \ \ (= \log_e x)
\lim_{\alpha \to -1} \int_1^x x^{\alpha} dx &=\lim_{\alpha \to -1} \dfrac{x^{\alpha+1}-1}{\alpha+1} \\
&=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{x^{\beta}-1}{\beta} \\
&=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{x^{\beta}-x^0}{\beta-0} \\
&=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{d}{d \beta} x^{\beta} \\
&=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{d}{d \beta} e^{\beta \log x} \\
&=\lim_{\beta \to 0} \log x e^{\beta \log x} \\
&=\lim_{\beta \to 0} x^{\beta} \log x \\
&= \log x \ \ (= \log_e x)
</tex>
この様に確かに、 $\log x$ に収束しました。
実は幾何学的な解釈をすれば、
積分は曲線の下の面積なので、曲線が連続的に移り変わるなら、
おかしなことは起こるはずがなかったのです。
発散と収束の境界:log x
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もう少し考えてみましょう。
<tex>
\int_1^\infty x^\alpha dx
</tex>
は、 $\alpha < -1$ で収束、 $\alpha \geq -1$ で発散したのでした。
横軸が対数の片対数のプロットでその様子を見てみましょう。それが、下の図です。
.. image :: chromel-nearLog-01-t.png
見ると、 $\alpha=-1$ の直線を境に上に凸な $ \alpha < -1 $ と下に凸な $\alpha > -1$ で
きれいに分かれることが分かります。ちなみに赤線は
<tex>
\dfrac{x^{\alpha+1}-1}{\alpha+1}|_{\alpha = -1.01 \ x \to \infty} = \dfrac{0-1}{-0.01}=100
</tex>
に収束します。
それでは今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-08-16@@
@@category:物理数学@@
@@id:nearLog@@
記事ソース/1/x周辺の積分（log x の近傍で） のバックアップの現在との差分(No.4)
