- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
#rst2hooktail_source
============================================================
行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか？
============================================================
今回の話は短いです。気楽にお読みください。
逆行列は左から掛けても右から掛けても同じ？
=============================================
ｎ次の正則な（つまり、逆行列を持つ）行列 $ A $ とその逆行列 $ A^{-1} $ の積は定義から、
<tex>
A^{-1}A=I \tag{##}
</tex>
です。 $I$ はｎ次の単位行列です。
ここで、私が気になったのは、
<tex>
AA^{-1}=? \tag{##}
</tex>
の値はどうなるかです。
計算してみましょう。
式 $(1)$ の左から $A$ 、右から $A^{-1}$ を掛けます。
すると、
<tex>
AA^{-1}AA^{-1} = AA^{-1} \tag{##}
</tex>
右辺を移項して、
<tex>
AA^{-1}AA^{-1} - AA^{-1} = (AA^{-1}-I)AA^{-1}=O \tag{##}
</tex>
最右辺はゼロ行列です。
右辺のランクは０であり、
左辺は $AA^{-1}$ はランクｎであり正則です。
一般に行列 $A,B$ について、 $rank(AB) = min(rankA,rankB) $ 、
となります。ここで、 $min(x,y)$ とは、 $x,y$ の最小値のことです。
よって、これから、左辺のランクと右辺のランクが等しいので、
<tex>
rank(AA^{-1},AA^{-1}-I) = min (rank(AA^{-1}),rank(AA^{-1}-I))=0 \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
rank(AA^{-1}-I)=0 \tag{##}
</tex>
すなわち、 $AA^{-1}-I$ はゼロ行列です。
よって、
<tex>
AA^{-1}=I \tag{##}
</tex>
となることが証明されました。
直交行列での実例
====================
例えば、 $A^{-1}A=I$ となるように作られた、
<tex>
A = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
という直交行列に対し、
<tex>
AA^{-1} &=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\dfrac{1}{\aqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
\dfrac{1}{\sqrt{6}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \\
\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \drac{1}{3} + \dfrac{4}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} \\
-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=I \tag{##}
</tex>
と確かに $AA^{-1} =I$ が成立しています。
これは、私は理屈では分かるのですが、
とても不思議だと思っています。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2012-07-24@@
@@category:物理数学@@
@@id:comAA-1
記事ソース/行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか？ のバックアップ差分(No.1)
