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記事ソース/行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか?†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細). コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================ 行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか? ============================================================ 今回の話は短いです。気楽にお読みください。 逆行列は左から掛けても右から掛けても同じ? ============================================= n次の正則な(つまり、逆行列を持つ)行列 $ A $ とその逆行列 $ A^{-1} $ の積は定義から、 <tex> A^{-1}A=I \tag{##} </tex> です。 $I$ はn次の単位行列です。 ここで、私が気になったのは、 <tex> AA^{-1}=? \tag{##} </tex> の値はどうなるかです。ここで、左からの逆行列を $L$ 右からの逆行列を $R$ とします [*]_ 。 .. [*] ここで注意しておくと $A$ が正則な時、列基本変形(右から掛ける変形)のみ、 もしくは、行基本変形(左から掛ける変形)のみで単位行列に変形できる (詳しくは参考文献の第2章[4,4]参照。)ので、 $L$ が存在するなら $A$ は正則となり $R$ も存在するし、 $R$ が 存在するならやはり $A$ が正則となり $L$ も存在します。と、いいたいところですが、この引用には一つ難点があります。 それは、[4,4]の証明の中で、基本変形行列とその逆行列の可換性が仮定されていることです。基本変形行列には、 逆行列が存在することは仮定しなければなりません。もっといい証明法をご存知の方は是非クロメルまでメールを送って ください (^^; 。 つまり、 <tex> LA=AR=I </tex> です。すると、 <tex> L=LI=L(AR)=LAR=(LA)R=IR=R </tex> となり、結局、 $L=R$ が結論されます。 よって、これを $A^{-1}$ と呼べるわけです。 直交行列での実例 ==================== 例えば、 $A^{-1}A=I$ となるように作られた、 <tex> A = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> という直交行列に対し、 <tex> AA^{-1} &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{6}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \\ \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} \\ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ &=I \tag{##} </tex> と確かに $AA^{-1} =I$ が成立しています。 これは、私は理屈では分かるのですが、 とても不思議だと思っています。 それでは、今日はこの辺で。 @@reference: 齋藤正彦,線型代数入門,東京大学出版会,1966,p52,4130620010@@ @@author:クロメル@@ @@accept:2012-07-24@@ @@category:物理数学@@ @@id:comAA-1@@ |