物理のかぎしっぽ 記事ソース/荷電粒子の運動による電磁場 のバックアップ(No.36)

記事ソース/荷電粒子の運動による電磁場†

これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．

コンバート

最近コンバートされた結果： HTML， PDF， TeX

公開・更新メニュー ▼▲

記事ソースの内容

============================================================
荷電粒子の運動による電磁場
============================================================

`前の記事`_ では電荷 $q$ をもった荷電粒子が、ある軌道 $\bm{r} = \bm{r_0}(t)$ に沿って運動するとき、
点 $\bm{r}$ の電磁場のポテンシャルは |Lienard-Wiechert| ポテンシャルで表されることを学びました。
|Lienard-Wiechert| ポテンシャルは次のように書かれるのでした。

<tex>
\phi & = \left[ \frac{q}{\kappa R} \right] \tag{#def(LW01)}, \\
\bm{A} & = \left[ \frac{q \bm{u}}{c \kappa R} \right]. \tag{#def(LW02)}
</tex>

ここで $[ \ ]$ は遅延時間をとることを表しています。

この記事では |Lienard-Wiechert| ポテンシャルから、荷電粒子が運動しているときの電場、磁場を求めます。

.. |Lienard-Wiechert| unicode:: Li U+00E9 nard-Wiechert

.. _`前の記事`: http://www12.plala.or.jp/ksp/elemag/Lienard-Wiechert/index.html

-------------------------------------------
ポテンシャルから電場を求める
-------------------------------------------

まずポテンシャルから電場を求めることにしましょう。
いま我々はゲージとしてローレンツゲージを選んでいます。
したがって電場、磁場はスカラーポテンシャル $\phi$ 、ベクトルポテンシャル $\bm{A}$ を用いて次のように表されます。

<tex>
\bm{E}(\bm{r},t) & = -\nabla \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \bm{A}}{\partial t} \tag{#def(def-E)}\\
\bm{B}(\bm{r},t) & = \nabla \times \bm{A} \tag{#def(def-B)}
</tex>

(#ref(def-E))、(#ref(def-B)) にそれぞれ (#ref(LW01))、((#ref(LW02)) を代入して計算してやれば、電場・磁場を求めることができます。
まずは電場を求めることにしましょう。(#ref(def-E)) に (#ref(LW01)) を代入します。遅延時間を $t_{\rm{ret}} = t - \frac{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}{c} = t'$ と表記することにします。電場は

<tex>
\bm{E}(\bm{r},t)
& =
 - \nabla \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \bm{A}}{\partial t}\\
& =
 - \nabla \left( \frac{q}{\kappa\left(t'\right) R\left(t'\right)} \right)
 - \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{q \bm{u}(t')}{\kappa(t') R(t')} \right) \tag{#def(eq-E01)}
</tex>

となります。ここで $\bm{u}(t')$ 、 $\kappa(t')$ 、 $\bm{R}(t')$ 、 $ R(t')$ は

<tex>
\bm{u}(t') & = \frac{d \bm{r_0}(t')}{dt} \tag{#def(def-u)}\\
\kappa(t') & = 1 - \frac{1}{c} \bm{n}(t') \cdot \bm{u}(t') \tag{#def(def-kappa)}\\
\bm{R}(t') & = \bm{r} - \bm{r_0}(t') \tag{#def(def-vecR)}\\
R(t')      & = |\bm{R}(t')| \tag{#def(def-R)}
</tex>

です。また、荷電粒子から観測者の向きの単位ベクトル $\bm{n}$ を次のように定義します。

<tex>
\bm{n}(t') = \frac{\bm{R}(t')}{R(t')} \tag{#def(def-n)}
</tex>

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
準備
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

式 (#ref(eq-E01)) の計算を進める前に、いくつかの計算をしておきます。
あとで出てくるからです。

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
$\partial t'/\partial t$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
まず $\frac{\partial t'}{\partial t}$ を計算します。

<tex>
\frac{\partial t'}{\partial t}
& = 
 \frac{\partial}{\partial t} \left( t - \frac{R(t')}{c} \right)\\
& = 
 1 - \frac{1}{c}\frac{\partial R(t')}{\partial t'} \frac{\partial t'}{\partial t} \tag{#def(tmp01)}
</tex>

ここで

<tex>
\frac{\partial R(t')}{\partial t'} 
& =
 \frac{\partial}{\partial t}
 \left(
   \sqrt{\left(x-x_0\left(t'\right)\right)^2 + \left(y-y_0\left(t'\right)\right)^2 + \left(z-z_0\left(t'\right)\right)^2}
 \right)\\
& =
 \frac{-\left(x-x_0\left(t'\right)\right)\frac{d x_0(t')}{dt'}
 - \left(y-y_0\left(t'\right)\right)\frac{d y_0(t')}{dt'}
 - \left(z-z_0\left(t'\right)\right)
   \frac{d z_0(t')}{dt'}}{\sqrt{\left(x-x_0\left(t'\right)\right)^2
 + \left(y-y_0\left(t'\right)\right)^2
 + \left(z-z_0\left(t'\right)\right)^2}}\\
& =
 - \frac{\bm{R}(t')\cdot\bm{u}(t')}{R(t')}\\
& = 
 - \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \tag{#def(tmp02)}
</tex>

となるので、(#ref(tmp02)) を (#ref(tmp01)) に代入して

<tex>
\frac{\partial t'}{\partial t} 
 = 1 + \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c}\frac{\partial t'}{\partial t}\\
\left(1-\frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c}\right) \frac{\partial t'}{\partial t}
 = 1
</tex>

ゆえに (#ref(def-kappa)) より

<tex>
\frac{\partial t'}{\partial t} = \frac{1}{\kappa(t')}. \tag{#def(dt'/dt)}
</tex>

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
$\partial t' / \partial x$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

つぎに $\frac{\partial t'}{\partial x}$ という量を計算します。

ここで一つ気をつけなければいけないのが $t' = t - \frac{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}{c}$ なので、 $r_0(t')$ の中の $t'$ も $x$ に依存していると言うことです。ややこしいですね (ﾉ◇≦。)

とにかくこれに気をつけて微分を実行する必要があります。

<tex>
\frac{\partial t'}{\partial x}
& = 
 \left( \frac{\partial t'}{\partial x} \right)_{\bm{r_0}}
 + \left(
     \frac{\partial t'(\bm{r_0}(t'))}{\partial x}
   \right)_{\bm{r}}\\
& =
 \left( \frac{\partial t'}{\partial x} \right)_{\bm{r_0}}
 + \left(
     \frac{\partial t'\left(\bm{r_0}\left(t'\right)\right)}{\partial t'}
     \frac{\partial t'}{\partial x}
   \right)_{\bm{r}} \tag{#def(tmp03)}
</tex>

ここで

<tex>
\left( \frac{\partial t'}{\partial x} \right)_{\bm{r_0}}
& = 
 \left(
   \frac{\partial}{\partial x}
   \left(
     t - \frac{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}{c}
   \right)
 \right)_{\bm{r_0}}\\
& =
 \left(
   -\frac{1}{c}
   \frac{\partial}{\partial x}
   \left(
     \sqrt{(x-x_0(t'))^2 + (y-y_0(t'))^2 + (z-z_0(t'))^2}
   \right)
 \right)_{\bm{r_0}}\\
& =
 - \frac{x-x_0(t')}{c R(t')}\\
& =
 - \frac{n_x(t')}{c} \tag{#def(tmp04)}
</tex>

<tex>
\left(
 \frac{\partial t'(\bm{r_0}(t'))}{\partial t'}
 \frac{\partial t'}{\partial x}
\right)_{\bm{r}}
& =
 \left(
   \frac{\partial}{\partial t'}
   \left(
     t - \frac{R(t')}{c}
   \right)
   \frac{\partial t'}{\partial x}
 \right)_{\bm{r}}\\
& =
 \left(
   -\frac{1}{c}
   \frac{\partial R(t')}{\partial t'}
   \frac{\partial t'}{\partial x}
 \right)_{\bm{r}}\\
& =
 \frac{\bm{n}(t') \cdot \bm{u}(t')}{c}
 \frac{\partial t'}{\partial x} \tag{#def(tmp05)}
</tex>

したがって (#ref(tmp04))、(#ref(tmp05)) より、(#ref(tmp03)) は

<tex>
\left( 1 - \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c} \right) \frac{\partial t'}{\partial x}
= - \frac{n_x(t')}{c}
</tex>
<tex>
\frac{\partial t'}{\partial x} = - \frac{n_x(t')}{c \kappa(t')}. \tag{#def(dt'/dx)}
</tex>

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
$\left(\partial/\partial t'\right) \left( \left(\kappa\left(t'\right)R\left(t'\right)\right)\right)$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

つぎに $\frac{\partial}{\partial t'} \left( \kappa \left(t'\right) R\left(t'\right)\right)$ を計算します。
これが終われば準備は完了ですので頑張って下さい。p(´∇｀)q

<tex>
\frac{\partial}{\partial t'} \left( \kappa \left(t'\right) R\left(t'\right)\right)
=
 \frac{\partial \kappa (t')}{\partial t'} R(t')
 + \kappa (t') \frac{\partial R(t')}{\partial t'} \tag{#def(tmp06)}
</tex>

ここで

<tex>
\frac{\partial \kappa(t')}{\partial t'}
& =
 \frac{\partial}{\partial t'} \left( 1 - \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c} \right)\\
& =
 -\frac{1}{c}
 \left(
   \frac{\partial \bm{n}(t')}{\partial t'} \cdot \bm{u}(t')
   + \bm{n}(t') \cdot \frac{\partial \bm{u}(t')}{\partial t'}
 \right). \tag{#def(tmp07)}
</tex>

<tex>
\frac{\partial \bm{n}(t')}{\partial t'}
& = 
 \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\bm{R}(t')}{R(t')}\right)\\
& =
 \frac{\partial \bm{R}(t')}{\partial t'}\frac{1}{R(t')}
 - \bm{R}(t') \frac{1}{R(t')^2} \frac{\partial R(t')}{\partial t'}\\
& =
 - \frac{\bm{u}(t')}{R(t')}
 + \bm{n}(t') \frac{\bm{n}(t') \cdot \bm{u}(t')}{R(t')}\\
& =
 \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') - \bm{u}(t')}{R(t')} \tag{#def(tmp08)}
</tex>

式(#ref(tmp08)) より (#ref(tmp07)) は

<tex>
\frac{\partial \kappa(t')}{\partial t'}
= -\frac{1}{c}
 \left(
   \frac{\left(\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')\right)^2 - u(t)^2}{R(t')} + \bm{n}(t')\cdot\dot{\bm{u}(t')}
 \right). \tag{#def(tmp09)}
</tex>

したがって (#ref(tmp06)) より

<tex>
\frac{\partial}{\partial t'}\left(\kappa(t')R(t')\right)
= -\frac{1}{c}
 \left(
   \left( \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \right)^2
   - u(t')^2
   + R(t')\left(\bm{n}(t')\cdot\dot{\bm{u}(t')}\right)
 \right)
 - \kappa(t') \left( \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \right) \tag{#def(dkR/dt')}
</tex>

となります。

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
まとめ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

準備で計算した結果をまとめておきましょう。
<tex>
\frac{\partial R(t')}{\partial t'} & =  - \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') , \tag{#ref(tmp02)} \\
\frac{\partial t'}{\partial t} & = \frac{1}{\kappa(t')} , \tag{#ref(dt'/dt)} \\
\frac{\partial t'}{\partial x} & = - \frac{n_x(t')}{c \kappa(t')} , \tag{#ref(dt'/dx)}\\
\frac{\partial \bm{n}(t')}{\partial t'} & =  \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') - \bm{u}(t')}{R(t')} \tag{#ref(tmp08)}\\
\frac{\partial}{\partial t'}\left(\kappa(t')R(t')\right)
& = -\frac{1}{c}
 \left(
   \left( \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \right)^2
   - u(t')^2
   + R(t')\left(\bm{n}(t')\cdot\dot{\bm{u}(t')}\right)
 \right)
 - \kappa(t') \left( \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \right) \tag{#ref(dkR/dt')}
</tex>



~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
計算だっ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

準備の計算だけで疲れてしまいました。。 (;´ρ`)

では実際に (#ref(eq-E01)) を計算してみることにしましょう。

@@author: CO@@
@@accept: 執筆中@@
@@category: 電磁気学@@
@@id: elemagfield@@
トップ   新規 一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS
Modified by 物理のかぎプロジェクト PukiWiki 1.4.6 Copyright © 2001-2005 PukiWiki Developers Team. License is GPL.
Based on "PukiWiki" 1.3 by yu-ji Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.059 sec.