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荷電粒子の運動による電磁場
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`前の記事`_ では電荷 $q$ をもった荷電粒子が、ある軌道 $\bm{r} = \bm{r_0}(t)$ に沿って運動するとき、
点 $\bm{r}$ の電磁場のポテンシャルは |Lienard-Wiechert| ポテンシャルで表されることを学びました。
|Lienard-Wiechert| ポテンシャルは次のように書かれるのでした。

<tex>
\phi & = \left[ \frac{q}{\kappa R} \right] \tag{#def(LW01)}, \\
\bm{A} & = \left[ \frac{q \bm{u}}{c \kappa R} \right]. \tag{#def(LW02)}
</tex>

ここで $[ \ ]$ は遅延時間をとることを表しています。

この記事では |Lienard-Wiechert| ポテンシャルから、荷電粒子が運動しているときの電場、磁場を求めます。
なお、このシリーズでは単位系として cgs 単位系を用いています。ご了承ください。

.. |Lienard-Wiechert| unicode:: Li U+00E9 nard-Wiechert

.. _`前の記事`: http://www12.plala.or.jp/ksp/elemag/Lienard-Wiechert/index.html

-------------------------------------------
結果から
-------------------------------------------

先は長いので、先に結果を載せておきます。次のような式を得ることを目指して進んでいきます。

<tex>
\bm{E}(\bm{r}, t) 
= q \left[ \frac{(1-\beta^2)(\bm{n}-\bm{\beta})}{\kappa^3 R^2} \right]
+ \frac{q}{c} \left[ \frac{\bm{n}}{\kappa^3 R} \times (\bm{n} - \bm{\beta}) \times \dot{\bm{\beta}} \right] \tag{#def(E)}
</tex>

<tex>
\bm{B}(\bm{r},t) = \left[ \bm{n}(t') \times \bm{E}(\bm{r},t) \right] \tag{#def(B)}
</tex>

-------------------------------------------
ポテンシャルから電場を求める
-------------------------------------------

まずポテンシャルから電場を求めることにしましょう。
いま我々はゲージとしてローレンツゲージを選んでいます。
したがって電場、磁場はスカラーポテンシャル $\phi$ 、ベクトルポテンシャル $\bm{A}$ を用いて次のように表されます。

<tex>
\bm{E}(\bm{r},t) & = -\nabla \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \bm{A}}{\partial t} \tag{#def(def-E)}\\
\bm{B}(\bm{r},t) & = \nabla \times \bm{A} \tag{#def(def-B)}
</tex>

(#ref(def-E))、(#ref(def-B)) にそれぞれ (#ref(LW01))、(#ref(LW02)) を代入して計算してやれば、電場・磁場を求めることができます。
まずは電場を求めることにしましょう。(#ref(def-E)) に (#ref(LW01)) を代入します。遅延時間を $t_{\rm{ret}} = t - \frac{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}{c} = t'$ と表記することにします。電場は

<tex>
\bm{E}(\bm{r},t)
& =
  - \nabla \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \bm{A}}{\partial t}\\
& =
  - \nabla \left( \frac{q}{\kappa\left(t'\right) R\left(t'\right)} \right)
  - \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{q \bm{u}(t')}{c \kappa(t') R(t')} \right) \tag{#def(eq-E01)}
</tex>

となります。ここで $\bm{u}(t')$ 、 $\kappa(t')$ 、 $\bm{R}(t')$ 、 $ R(t')$ は

<tex>
\bm{u}(t') & = \frac{d \bm{r_0}(t')}{dt} \tag{#def(def-u)}\\
\kappa(t') & = 1 - \frac{1}{c} \bm{n}(t') \cdot \bm{u}(t') \tag{#def(def-kappa)}\\
\bm{R}(t') & = \bm{r} - \bm{r_0}(t') \tag{#def(def-vecR)}\\
R(t')      & = |\bm{R}(t')| \tag{#def(def-R)}
</tex>

です。また、荷電粒子から観測者の向きの単位ベクトル $\bm{n}$ を次のように定義します。

<tex>
\bm{n}(t') = \frac{\bm{R}(t')}{R(t')} \tag{#def(def-n)}
</tex>

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
準備
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

式 (#ref(eq-E01)) の計算を進める前に、いくつかの計算をしておきます。
あとで出てくるからです。

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
$\partial t'/\partial t$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
まず $\frac{\partial t'}{\partial t}$ を計算します。

<tex>
\frac{\partial t'}{\partial t}
& = 
  \frac{\partial}{\partial t} \left( t - \frac{R(t')}{c} \right)\\
& = 
  1 - \frac{1}{c}\frac{\partial R(t')}{\partial t'} \frac{\partial t'}{\partial t} \tag{#def(tmp01)}
</tex>

ここで

<tex>
\frac{\partial R(t')}{\partial t'} 
& =
  \frac{\partial}{\partial t'}
  \left(
    \sqrt{\left(x-x_0\left(t'\right)\right)^2 + \left(y-y_0\left(t'\right)\right)^2 + \left(z-z_0\left(t'\right)\right)^2}
  \right)\\
& =
  \frac{-\left(x-x_0\left(t'\right)\right)\frac{d x_0(t')}{dt'}
  - \left(y-y_0\left(t'\right)\right)\frac{d y_0(t')}{dt'}
  - \left(z-z_0\left(t'\right)\right)
    \frac{d z_0(t')}{dt'}}{\sqrt{\left(x-x_0\left(t'\right)\right)^2
  + \left(y-y_0\left(t'\right)\right)^2
  + \left(z-z_0\left(t'\right)\right)^2}}\\
& =
  - \frac{\bm{R}(t')\cdot\bm{u}(t')}{R(t')}\\
& = 
  - \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \tag{#def(tmp02)}
</tex>

となるので、(#ref(tmp02)) を (#ref(tmp01)) に代入して

<tex>
\frac{\partial t'}{\partial t} 
  = 1 + \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c}\frac{\partial t'}{\partial t}\\
\left(1-\frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c}\right) \frac{\partial t'}{\partial t}
  = 1
</tex>

ゆえに (#ref(def-kappa)) より

<tex>
\frac{\partial t'}{\partial t} = \frac{1}{\kappa(t')}. \tag{#def(dt'/dt)}
</tex>

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
$\partial t' / \partial x$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

つぎに $\frac{\partial t'}{\partial x}$ という量を計算します。

ここで一つ気をつけなければいけないのが $t' = t - \frac{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}{c}$ なので、 $r_0(t')$ の中の $t'$ も $x$ に依存していると言うことです。ややこしいですね (ﾉ◇≦。)

とにかくこれに気をつけて微分を実行する必要があります。

<tex>
\frac{\partial t'}{\partial x}
& = 
  \left( \frac{\partial t'}{\partial x} \right)_{\bm{r_0}}
  + \left(
      \frac{\partial t'(\bm{r_0}(t'))}{\partial x}
    \right)_{\bm{r}}\\
& =
  \left( \frac{\partial t'}{\partial x} \right)_{\bm{r_0}}
  + \left(
      \frac{\partial t'\left(\bm{r_0}\left(t'\right)\right)}{\partial t'}
      \frac{\partial t'}{\partial x}
    \right)_{\bm{r}} \tag{#def(tmp03)}
</tex>

ここで

<tex>
\left( \frac{\partial t'}{\partial x} \right)_{\bm{r_0}}
& = 
  \left(
    \frac{\partial}{\partial x}
    \left(
      t - \frac{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}{c}
    \right)
  \right)_{\bm{r_0}}\\
& =
  \left(
    -\frac{1}{c}
    \frac{\partial}{\partial x}
    \left(
      \sqrt{(x-x_0(t'))^2 + (y-y_0(t'))^2 + (z-z_0(t'))^2}
    \right)
  \right)_{\bm{r_0}}\\
& =
  - \frac{x-x_0(t')}{c R(t')}\\
& =
  - \frac{n_x(t')}{c} \tag{#def(tmp04)}
</tex>

<tex>
\left(
  \frac{\partial t'(\bm{r_0}(t'))}{\partial t'}
  \frac{\partial t'}{\partial x}
\right)_{\bm{r}}
& =
  \left(
    \frac{\partial}{\partial t'}
    \left(
      t - \frac{R(t')}{c}
    \right)
    \frac{\partial t'}{\partial x}
  \right)_{\bm{r}}\\
& =
  \left(
    -\frac{1}{c}
    \frac{\partial R(t')}{\partial t'}
    \frac{\partial t'}{\partial x}
  \right)_{\bm{r}}\\
& =
  \frac{\bm{n}(t') \cdot \bm{u}(t')}{c}
  \frac{\partial t'}{\partial x} \tag{#def(tmp05)}
</tex>

したがって (#ref(tmp04))、(#ref(tmp05)) より、(#ref(tmp03)) は

<tex>
\left( 1 - \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c} \right) \frac{\partial t'}{\partial x}
= - \frac{n_x(t')}{c}
</tex>
<tex>
\frac{\partial t'}{\partial x} = - \frac{n_x(t')}{c \kappa(t')}. \tag{#def(dt'/dx)}
</tex>

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
$\left(\partial/\partial t'\right) \left( \left(\kappa\left(t'\right)R\left(t'\right)\right)\right)$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

つぎに $\frac{\partial}{\partial t'} \left( \kappa \left(t'\right) R\left(t'\right)\right)$ を計算します。
これが終われば準備は完了ですので頑張って下さい。p(´∇｀)q

<tex>
\frac{\partial}{\partial t'} \left( \kappa \left(t'\right) R\left(t'\right)\right)
=
  \frac{\partial \kappa (t')}{\partial t'} R(t')
  + \kappa (t') \frac{\partial R(t')}{\partial t'} \tag{#def(tmp06)}
</tex>

ここで

<tex>
\frac{\partial \kappa(t')}{\partial t'}
& =
  \frac{\partial}{\partial t'} \left( 1 - \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c} \right)\\
& =
  -\frac{1}{c}
  \left(
    \frac{\partial \bm{n}(t')}{\partial t'} \cdot \bm{u}(t')
    + \bm{n}(t') \cdot \frac{\partial \bm{u}(t')}{\partial t'}
  \right). \tag{#def(tmp07)}
</tex>

<tex>
\frac{\partial \bm{n}(t')}{\partial t'}
& = 
  \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\bm{R}(t')}{R(t')}\right)\\
& =
  \frac{\partial \bm{R}(t')}{\partial t'}\frac{1}{R(t')}
  - \bm{R}(t') \frac{1}{R(t')^2} \frac{\partial R(t')}{\partial t'}\\
& =
  - \frac{\bm{u}(t')}{R(t')}
  + \bm{n}(t') \frac{\bm{n}(t') \cdot \bm{u}(t')}{R(t')}\\
& =
  \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') - \bm{u}(t')}{R(t')} \tag{#def(tmp08)}
</tex>

式(#ref(tmp08)) より (#ref(tmp07)) は

<tex>
\frac{\partial \kappa(t')}{\partial t'}
= -\frac{1}{c}
  \left(
    \frac{\left(\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')\right)^2 - u(t)^2}{R(t')} + \bm{n}(t')\cdot\dot{\bm{u}(t')}
  \right). \tag{#def(tmp09)}
</tex>

したがって (#ref(tmp06)) より

<tex>
\frac{\partial}{\partial t'}\left(\kappa(t')R(t')\right)
= -\frac{1}{c}
  \left(
    \left( \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \right)^2
    - u(t')^2
    + R(t')\left(\bm{n}(t')\cdot\dot{\bm{u}(t')}\right)
  \right)
  - \kappa(t') \left( \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \right) \tag{#def(dkR/dt')}
</tex>

となります。

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
まとめ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

準備で計算した結果をまとめておきましょう。
<tex>
& \frac{\partial R(t')}{\partial t'} =  - \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') , \tag{#ref(tmp02)} \\
& \frac{\partial t'}{\partial t} = \frac{1}{\kappa(t')} , \tag{#ref(dt'/dt)} \\
& \frac{\partial t'}{\partial x} = - \frac{n_x(t')}{c \kappa(t')} , \tag{#ref(dt'/dx)}\\
& \frac{\partial \bm{n}(t')}{\partial t'} =  \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') - \bm{u}(t')}{R(t')} \tag{#ref(tmp08)}\\
& \frac{\partial}{\partial t'}\left(\kappa(t')R(t')\right)
= -\frac{1}{c}
  \left(
    \left( \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \right)^2
    - u(t')^2
    + R(t')\left(\bm{n}(t')\cdot\dot{\bm{u}(t')}\right)
  \right)
  - \kappa(t') \left( \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \right) \tag{#ref(dkR/dt')}
</tex>



~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
計算だっ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

準備の計算だけで疲れてしまいました。。 (;´ρ`)

では実際に (#ref(eq-E01)) を計算してみることにしましょう。(#ref(eq-E01)) をもう一度書くと、

<tex>
\bm{E}(\bm{r},t)
& =
  - \nabla \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \bm{A}}{\partial t}\\
& =
  - \nabla \left( \frac{q}{\kappa\left(t'\right) R\left(t'\right)} \right)
  - \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{q \bm{u}(t')}{c \kappa(t') R(t')} \right) \tag{#ref(eq-E01)}
</tex>

でした。

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
$\nabla \phi$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

まずは $\nabla \phi$ から片づけていくことにします。
まずは $x$ 成分を計算してみましょう

<tex>
\left( \nabla \phi \right)_{x}
& =
  \frac{\partial}{\partial}
  \left( \frac{q}{\kappa(t')R(t')} \right)\\
& =
  \frac{\partial t'}{\partial x}
  \frac{\partial}{\partial t'}
  \left( \frac{q}{\kappa(t')R(t')} \right)\\
& =
  \frac{\partial t'}{\partial x}
  \frac{-1}{\kappa(t')^2 R(t')^2}
  \frac{\partial}{\partial t'}
  \left( \kappa(t') R(t') \right)\\
& =
  \frac{q n_x(t')}{c \kappa(t')^3 R(t')^2}
  \frac{\partial}{\partial t'}
  \left( \kappa(t') R(t') \right) \tag{#def(nabla-x)}
</tex>

同様にして $y$ 成分、 $z$ 成分も計算できます。従って $\nabla \phi$ は

<tex>
\nabla \phi = \frac{q \bm{n}(t')}{c\kappa(t')^3 R(t')^2}\frac{\partial}{\partial t'}\left( \kappa(t') R(t')\right) \tag{#def(nabla-phi)}
</tex>

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
$\partial \bm{A}/\partial t$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

つづいて $\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}$ を計算しましょう。

<tex>
\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}
& =
  \frac{\partial t'}{\partial t}
  \frac{\partial \bm{A}}{\partial t'}\\
& = 
  \frac{1}{\kappa(t')}
  \frac{\partial}{\partial t'}
  \left(
    \frac{q\bm{u}(t')}{c \kappa(t')R(t')}
  \right)\\
& =
  \frac{q}{c \kappa(t')}
  \left(
    \frac{\dot{\bm{u}(t')}}{\kappa(t')R(t')}
    - \frac{\bm{u}(t')}{\kappa(t')^2R(t')^2}
      \frac{\partial}{\partial t'}
      \left( \kappa(t') R(t') \right)
  \right)\\
& =
  \frac{q}{c \kappa(t')^3 R(t')^2}
  \left(
    \kappa(t') R(t') \dot{\bm{u}}(t')
    - \bm{u}(t') \frac{\partial}{\partial t'}\left(\kappa(t')R(t')\right)
  \right) \tag{#def(dA/dt')}
</tex>

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
いよいよ電場
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

さあ、これでやっと電場が計算できます。(#ref(nabla-phi))、(#ref(dA/dt'))より、

<tex>
\bm{E}(\bm{r}, t)
& =
  - \nabla \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}\\
& =
  - \frac{q \bm{n}(t')}{c\kappa(t')^3 R(t')^2} \frac{\partial}{\partial t'}\left(\kappa(t')R(t')\right)
  - \frac{q}{c\kappa(t')^3 R(t')^2}
    \left(
      \kappa(t') R(t') \frac{\dot{\bm{u}}(t')}{c} - \frac{\bm{u}(t')}{c}\frac{\partial}{\partial t'}\left(\kappa(t')R(t')\right)
    \right)\\
& =
  - \frac{q}{c\kappa(t')^3 R(t')^2}
  \left(
    \bm{n}(t')\frac{\partial}{\partial t'}\left(\kappa(t')R(t')\right)
    + \kappa(t') R(t') \dot{\bm{u}}(t')
    - \frac{\bm{u}(t')}{c}\frac{\partial}{\partial t'}\left(\kappa(t')R(t')\right)
  \right)\\
& =
  - \frac{q}{c\kappa(t')^3 R(t')^2}
  \left(
    \left( \bm{n}(t') - \frac{\bm{u}(t')}{c}\right)
    \frac{\partial}{\partial t'}\left(\kappa(t')R(t')\right)
    + \kappa(t') R(t') \frac{\dot{\bm{u}}(t')}{c}
  \right)
</tex>

ここで (#ref(dkR/dt')) を代入してやると、

<tex>
\bm{E}(\bm{r},t)
& =
\left[
  \frac{q}{\kappa^3 R^2}
  \left(
    \left(\bm{n}-\frac{\bm{u}}{c}\right)
    \left(
      \frac{(\bm{n}\cdot\bm{u})^2}{c^2}
      - \frac{u^2}{c^2}
      + \frac{R}{c^2}\bm{n}\cdot\dot{\bm{u}}
      + \frac{\kappa \bm{n}\cdot\bm{u}}{c}
    \right)
    + \frac{\kappa R \dot{\bm{u}}}{c^2}
  \right)
\right]\\
& =
\left[
  \frac{q}{\kappa^3 R^2}
  \left(
    \left(\bm{n}-\bm{\beta}\right)
    \left(
      (\bm{n}\cdot\bm{\beta})^2
      - \beta^2
      + R\bm{n}\cdot\dot{\bm{\beta}}
      + \kappa \bm{n}\cdot\bm{\beta}
    \right)
    + \kappa R \dot{\bm{\beta}}
  \right)
\right]
\tag{#def(tmp10)}
</tex>

となります。
ここで $\bm{u}(t')/c = \bm{\beta}(t')$ とおきました。(#ref(tmp10)) を展開して整理します。
このとき分子の $\kappa(t') = 1-\bm{n}(t')\cdot\bm{\beta}(t')$ も展開します。

<tex>
\bm{E}(\bm{r},t)
= & q
  \left[
    \frac{\left( \bm{n}\cdot\bm{\beta}\right)^2 - \beta^2 + \left( 1 - \bm{n}\cdot\bm{\beta}\right)\bm{n}\cdot\bm{\beta}}{\kappa^3 R^2}
    \left( \bm{n} - \bm{\beta} \right)
  \right]\\
 & +
  \frac{q}{c}
  \left[
    \frac{\bm{n}\cdot\dot{\bm{\beta}}(\bm{n}-\bm{\beta}) + (1-\bm{n}\cdot\bm{\beta})\dot{\bm{\beta}}}{\kappa^3 R^2}
  \right] \tag{#def(tmp11)}
</tex>

ここで、第二項の分子について考えてみます。突然ですが次のような外積を計算してみます。

<tex>
\bm{n} \times \left((\bm{n}-\bm{\beta}) \times \dot{\bm{\beta}}\right)
& =
  \bm{n} \times \left( \bm{n} \times \dot{\bm{\beta}} - \bm{\beta} \times \dot{\bm{\beta}} \right)\\
& =
  \bm{n} \times \left( \bm{n} \times \dot{\bm{\beta}} \right) - \bm{n}\times\left(\bm{\beta}\times\dot{\bm{\beta}}\right)\\
& =
  \bm{n}\left(\bm{n}\cdot\dot{\bm{\beta}}\right) - \dot{\bm{\beta}} - \bm{\beta}\left(\bm{n}\cdot\dot{\bm{\beta}}\right) + \dot{\bm{\beta}} \left( \bm{n}\cdot\bm{\beta} \right)\\
& =
  \left(\bm{n}\cdot\dot{\bm{\beta}}\right)
  \left(\bm{n}-\bm{\beta}\right)
  + \dot{\bm{\beta}}\left(1-\bm{n}\cdot\bm{\beta}\right) \tag{#def(tmp12)}
</tex>

式 (#ref(tmp12)) は (#ref(tmp11)) の第二項の分子と同じです。
第一項を整理し、第二項に (#ref(tmp12)) を適用すると次式になります。

<tex>
\bm{E}(\bm{r}, t) 
= q \left[ \frac{(1-\beta^2)(\bm{n}-\bm{\beta})}{\kappa^3 R^2} \right]
+ \frac{q}{c} \left[ \frac{\bm{n}}{\kappa^3 R} \times (\bm{n} - \bm{\beta}) \times \dot{\bm{\beta}} \right] \tag{#ref(E)}
</tex>

これが点電荷が運動しているときの電場です。ε=(･o･*) ﾌｩ

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磁場を求める
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磁場は (#ref(def-B)) から求めることができます。
電場の計算と同じようにやればよいので、ここでは省略します。

結果だけ載せておきます。

<tex>
\bm{B}(\bm{r},t) = \left[ \bm{n}(t') \times \bm{E}(\bm{r},t) \right] \tag{#def(B)}
</tex>

@@reference: George B.Rybicki & Alan P. Lightman, Radiative Processes in Astrophysics, Wiley-Interscience, 1985, p80, 0471827592@@
@@author: CO@@
@@accept: 執筆中@@
@@category: 電磁気学@@
@@id: elemagfield@@