- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
#rst2hooktail_source
=================================================
ラグランジュ微分（実質微分/水理学的微分）
=================================================
ここでは、流体力学が抱える最大の問題、ミレニアム懸賞問題の
一つにも数えられている「ナビエ-ストークス方程式」を
記述する際に非常に重要な概念となる、
ラグランジュ微分（実質微分/水理学的微分）に触れていきたい
と思います。
================================================
流体粒子の動き
================================================
著者が土木を専攻しているので、流体の中でも特に水の
挙動について考えていきます
（空気等でもアイデアは変わらないと思いますが）。
ある物理量 $u(t, x, y, z)$ が存在し、時刻 $δt$ が経過したとき、
それが $u(t+δt, x+δx, y+δy, z+δz)$ を持つとします。
このとき、その差 $Δu$ は次のように定義されます。
<tex>
Δu=u(t+δt, x+δx, y+δy, z+δz)-u(t, x, y, z)
</tex>
すると、1次近似までのテイラー展開より
<tex>
Δu=∂u/∂t*δt+∂u/∂x*δx+∂u/∂y*δy+∂u/∂z*δz
</tex>
微小時間に注目すると $x, y, z$ 方向の速度を
それぞれ $u, v, w$ とすると
<tex>
δx=uδt, δy=vδy, δz=wδz
</tex>
より
<tex>
Δu/δt=∂u/∂t+u*∂u/∂x+v*∂u/∂y+w*∂u/∂z
</tex>
ここで $δt$ を $0$ に近づける時の極限が $Du/Dt$ と定義され、
ラグランジュ微分と呼ばれています。
<tex>
Du/Dt:=∂u/∂t+u*∂u/∂x+v*∂u/∂y+w*∂u/∂z
</tex>
この微分形式は、流体の物理量が3次元の位置と
時間の4次元の量に依存していることを意味し、
流体中の物質移動などの記述にも用いられています。
さらに特出的なのは、この微分が、現在も未解決とされている
数学史上最大の偏微分方程式、「ナビエ-ストークス方程式」を
構成する重要なコンポーネントになっていることです（本来は
物理量 $u, v, w$ について議論するので、3次元ベクトル方程式
の形をしていますが）。
================================================
あとがき
================================================
かなり雑に、ラグランジュ微分のアイデアを書きました。
重要ではありますが、流体中の物理量が4次元空間に依存している
ことをかなり簡単に、そして十分に理解できる範囲で記述した
式であると著者は考えています。
何度も書きますが、ここから派生するNS方程式が
一般解を与えることが証明できれば、
流体の動きを完全に理解することになり、何より賞金100万ドルです。
NS方程式についても書いてみますので、解ける！
という方は是非ともクレイ数学研究所へ。
記事ソース/ラグランジュ微分 のバックアップ差分(No.2)
