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============================================================ ジョルダン細胞のn乗 ============================================================ ジョルダンの標準形で有名なジョルダン細胞のn乗を求めます。 ジョルダン細胞 ===================== ジョルダン細胞とは、次のn次正方行列のことを言います。 <tex> J_n = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{pmatrix} \tag{##} </tex> このn乗を求めてみましょう。 注目する性質は、対角行列(単位行列の定数倍) $\Lambda$ <tex> \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{pmatrix} \tag{##} </tex> のどんな行列とも可換な性質と、 べきゼロ行列 $N$ <tex> N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> の持つ、何乗かするとゼロになる性質です。 ためしに四次のべきゼロ行列のべき乗を求めてみましょう。 <tex> N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> N^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> N^4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> とこの様に、べき乗すると1のなすラインが上がっていきます。 ここで求めたいのは、 <tex> (J_n)^i = (\Lambda + N)^i \tag{##} </tex> です。二項定理を用います。 <tex> (J_n)^i &= (\Lambda + N)^i \\ &= _n C_0 \Lambda^n + _n C_1 \Lambda^{n-1} N^{1} + _n C_2 \Lambda^{n-2} N^{2} + \cdots \tag{##} </tex> ここで $N$ のべき数を昇順にならべました。あるところからは、 $N^i$ はゼロ行列になります。 簡単な例 ================ <tex> J_4 = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> (J_4)^2 = \begin{pmatrix} \lambda^2 & 2 \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda^2 & 2 \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda^2 & 2 \lambda \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^2 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> (J_4)^3 = \begin{pmatrix} \lambda^3 & 3 \lambda^2 & 3 \lambda & 1 \\ 0 & \lambda^3 & 3 \lambda^2 & 3 \lambda \\ 0 & 0 & \lambda^3 & 3 \lambda^2 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^3 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> (J_4)^4 = \begin{pmatrix} \lambda^4 & 4 \lambda^3 & 6 \lambda^2 & 4 \lambda \\ 0 & \lambda^4 & 4 \lambda^3 & 6 \lambda^2 \\ 0 & 0 & \lambda^4 & 4 \lambda^3 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^4 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> とこの様に簡単にべき乗が求まります。 それでは、今日はこの辺で。 @@author:クロメル@@ @@accept:2013-03-11@@ @@category:物理数学@@ @@id:jordanCalcu@@