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ジョルダン細胞のｎ乗
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ジョルダンの標準形で有名なジョルダン細胞のｎ乗を求めます。

ジョルダン細胞
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ジョルダン細胞とは、次のｋ次正方行列のことを言います。

<tex>
J_k = 
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

このｎ乗を求めてみましょう。

注目する性質は、対角行列（単位行列の定数倍） $\Lambda$ 

<tex>
\Lambda = 
\begin{pmatrix}
\lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

のどんな行列とも可換な性質と、
べきゼロ行列 $N$ 

<tex>
N = 
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

の持つ、何乗かするとゼロになる性質です。
ためしに四次のべきゼロ行列のべき乗を求めてみましょう。

<tex>
N = 
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

<tex>
N^2 = 
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

<tex>
N^3 = 
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

<tex>
N^4 = 
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

とこの様に、べき乗すると１のなすラインが上がっていきます。

ここで求めたいのは、 $J_k$ の $n$ 乗、

<tex>
(J_k)^n = (\Lambda + N)^n \tag{##}
</tex>

です。二項定理を用います。

<tex>
(J_k)^n &= (\Lambda + N)^n \\
&= _n C_0 \Lambda^n + _n C_1 \Lambda^{n-1} N^{1} + _n C_2 \Lambda^{n-2} N^{2} + \cdots \tag{##}
</tex>

ここで $N$ のべき数を昇順にならべました。あるところからは、 $N^n$ はゼロ行列になります。

簡単な例
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<tex>
J_4 = 
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

<tex>
(J_4)^2 = 
\begin{pmatrix}
\lambda^2 & 2 \lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda^2 & 2 \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda^2 & 2 \lambda \\
0 & 0 & 0 & \lambda^2
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

<tex>
(J_4)^3 = 
\begin{pmatrix}
\lambda^3 & 3 \lambda^2 & 3 \lambda & 1 \\
0 & \lambda^3 & 3 \lambda^2 & 3 \lambda \\
0 & 0 & \lambda^3 & 3 \lambda^2 \\
0 & 0 & 0 & \lambda^3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

<tex>
(J_4)^4 = 
\begin{pmatrix}
\lambda^4 & 4 \lambda^3 & 6 \lambda^2 & 4 \lambda \\
0 & \lambda^4 & 4 \lambda^3 & 6 \lambda^2 \\
0 & 0 & \lambda^4 & 4 \lambda^3 \\
0 & 0 & 0 & \lambda^4
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

とこの様に簡単にべき乗が求まります。

行列の指数関数
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行列の指数関数がジョルダン細胞の場合にも、求まったので書いておきます。

<tex>
\exp (t J_k) &\equiv \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(t J_k)^n}{n!} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} \sum_{i=0}^n \dfrac{n!}{(n-i)!i!} t^n \Lambda^{n-i} N^i \\
&= \sum_{i=0}^\infty N^i \dfrac{t^i}{i!} \sum_{n=i}^\infty \dfrac{t^{n-i} \Lambda^{n-i} }{(n-i)!} \\
&= \sum_{i=0}^\infty N^i \dfrac{t^i}{i!} \exp (t \lambda) \\
&= \sum_{i=0}^{k-1} N^i \dfrac{t^i}{i!} \exp (t \lambda) \tag{##}
</tex>

よって、例えば、四次なら、

<tex>
\exp (t J_4)
=
\begin{pmatrix}
\exp (t \lambda)  & \dfrac{t}{1!} \exp(t \lambda) & \dfrac{t^2}{2!} \exp(t \lambda) & \dfrac{t^3}{3!} \exp(t \lambda) \\
0  &  \exp(t \lambda) & \dfrac{t}{1!} \exp(t \lambda) & \dfrac{t^2}{2!} \exp(t \lambda) \\
0  & 0 &  \exp(t \lambda) & \dfrac{t}{1!} \exp(t \lambda) \\
0  & 0 & 0 &  \exp(t \lambda)
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となります。以上でこの話は終わりです。 続々ベクトルの回転_ と比べると面白いかもしれません。
ここまで読んだなら、その応用をぜひ知ってください。 ジョルダン標準形の指数関数の応用_ をご覧あれ。
今日はここまで、お疲れ様でした。

.. _続々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot3/
.. _ジョルダン標準形の指数関数の応用: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/simDifEqu/


@@author:クロメル@@
@@accept:2013-03-11@@
@@category:物理数学@@
@@id:jordanCalcu@@