記事ソース/コラム第 1 回 『特殊な一階の常微分方程式』 のバックアップ(No.2)
記事ソース/コラム第 1 回 『特殊な一階の常微分方程式』 のバックアップ(No.2)
これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．
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コラム第 1 回 『特殊な一階の常微分方程式』
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先日，かぎしっぽのメーリングリストで，池の氷の成長速度
(氷の厚さ) が話題になりました。
詳細な説明はここでは致しませんが，
氷の厚さ $u$ と時刻 $t$ との間には，ある定数 $a$ を用いて
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u
= \frac{\, a \,}{\, u \,} \qquad \tag{1}
</tex>
という関係があるというものでした。
この微分方程式の解は，積分定数 $C$ を用いて，
<tex>
u = \pm \sqrt{\mathstrut 2 a t + C \,} \qquad \tag{2}
</tex>
と表されます `(註 1)`_ 。
つまり，大雑把にいえば $\sqrt{\mathstrut t \,}$ に比例します。
.. _cf01:
(註 1)
この問題の場合は，氷の厚さですので，
常に $0 \leq u$ かつ， $t = 0$ のとき， $u = 0$ です。
よって， $C = 0$ となり， $0 \leq u$ と併せて，
$u = \sqrt{\mathstrut 2 a t \,}$ となります。
この微分方程式を眺めていて，
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = a u \qquad \tag{3}
</tex>
の解が，積分定数 $C$ を用いて，
<tex>
u = \pm C \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{4}
</tex>
で表されることが頭に浮かんで来ました。
この二つの微分方程式は，共に，
.. _eq05:
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = a {u}^{k} \qquad \tag{5}
</tex>
という形をしています `(註 2)`_ 。
しかし，その解は，一方では平方根，もう一方は指数関数と，
全く違った形をしています。
そこで，今回は， `(5) 式`_ の形の微分方程式を解いてみたいと思います `(註 3)`_ 。
.. _cf02:
(註 2)
(5) 式で $k = -1$ とおくと (1) 式になり，
$k = 1$ とおくと (3) 式になります。
.. _cf03:
(註 3)
(5) 式は，左辺が $u$ の一階の導関数です。
このような微分方程式に含まれる最大の階数が一階であるものを
一階の微分方程式と呼びます。
また， $u$ の変数は $t$ だけです。
このように，変数が一つだけの微分方程式を常微分方程式と呼びます。
よって， (5) 式は，一階の常微分方程式の一種となります。
前提条件
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さて， `(5) 式`_ を解く訳ですが，その前提条件を決めておきましょう。
$u$ は $t$ の函数ですが，ここで定義域は $0 \leq t$ とします。
$k$ を実数全体に拡張したいので， $0 \leq u$ とします。
更に， $0 < t$ のとき， $0 < u$ であるとします。
定数 $a$ も， $0 < a$ とします [*]_ 。
これらの条件下で `(5) 式`_ を解きます。
.. [*]
この条件では， $0 < t$ で右辺は常に正の値を取ります
( $t = 0$ では $0$ 以上の値を取ります)。
つまり，導関数の値が常に正または $0$ ですから，
函数 $u$ は広義の単調増加函数です。
ここで，簡単の為に， ${}^{\prime}$ は $t$ による微分を表すこととします。
即ち，
$\displaystyle {u}^{\prime} = \frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u$
です。これを用いると， `(5) 式`_ は，
.. _eq06:
<tex>
{u}^{\prime} = a {u}^{k} \qquad \tag{6}
</tex>
となります。
では解いてみましょう
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`(6) 式`_ は， `変数分離形`_ で解く事が出来ますが，
ここでは，ちょっと変わった解き方をしてみます。
まず， $0 < t$ において， $0 < u$ であることから，
`(6) 式`_ の両辺に ${u}^{-k}$ を掛けます。
即ち，
<tex>
{u}^{-k} {u}^{\prime} = a \qquad \tag{7}
</tex>
となります。
ここで，函数 $u$ に対して， $j \neq 0$ のとき，
${u}^{j}$ ( $j$ は実数) の $t$ による微分，
即ち ${\left({u}^{j}\right)}^{\prime}$ を考えます。
これは，合成函数の微分から，
<tex>
{\left({u}^{j}\right)}^{\prime} = j {{u}^{j - 1}} {u}^{\prime} \qquad \tag{8}
</tex>
が成り立ちます。
ここで (8) 式を $j \neq 0$ に注意して整理しますと，
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{j}\right)}^{\prime}\,}{j} = {{u}^{j - 1}} {u}^{\prime}
\qquad \tag{9}
</tex>
となります。
さて， (9) 式において， $j - 1 = -k$ とおくと， $j = 1 - k$ で $k \neq 1$ ，
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{1 - k}\right)}^{\prime}\,}{1 - k}
= {{u}^{-k}} {u}^{\prime} \qquad \tag{10}
</tex>
となります。
ところで， (10) 式の右辺は， (7) 式の左辺に等しいので，
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{1 - k}\right)}^{\prime}\,}{1 - k} = a
\qquad \tag{11}
</tex>
即ち，
<tex>
\left({u}^{1 - k}\right)^{\prime} = a (1 - k) \qquad \tag{12}
</tex>
となります。
ここで， (12) 式の右辺 ( $a (1 - k)$ ) は定数であることに注意して
両辺を $t$ で積分すると，$C$ を積分定数として，
<tex>
{u}^{1 - k} = a (1 - k) t + C \qquad \tag{13}
</tex>
となりますから， $0 \leq u$ より，
この両辺の $1 - k \, \left( \mathstrut k \neq 1 \right)$ 乗根を取ると，
<tex>
u = {\left\{ a (1 - k) t + C \right\}}^
{\frac{\displaystyle {1}}{\displaystyle \, 1 - k \, }} \qquad \tag{14}
</tex>
となります。
一方， $k = 1$ のときは，解くべき微分方程式 ( `(6) 式`_ ) は，
<tex>
{u}^{\prime} = a u \qquad \tag{15}
</tex>
即ち
<tex>
\frac{\, {u}^{\prime} \,}{u} = a \qquad \tag{16}
</tex>
となりますから， $0 < u$ のとき，
<tex>
{\left(\ln u \right)}^{\prime} = \frac{\, {u}^{\prime} \,}{u}
\qquad \tag{17}
</tex>
より [*]_ ，
.. [*]
ここで $\ln x$ は，${\log}_{\mathrm{e}} x$ のことです。
高校では $\log x$ と底を省略した場合は，底が $\mathrm{e}$ で
ある場合 (自然対数) と $10$ である場合 (常用対数) の双方がありましたが，
それでは紛らわしいので， $\log$ は常用対数を， $\ln$ は自然対数を，
それぞれ表すものとされています。
<tex>
{\left(\ln u \right)}^{\prime} = a \qquad \tag{18}
</tex>
となります。 (18) 式の両辺を $t$ で積分して，
<tex>
\ln u = a t + C \qquad \tag{19}
</tex>
即ち，
<tex>
u = \mathrm{e}^{a t + C} = \mathrm{e}^{C} \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{20}
</tex>
となりますが， $\mathrm{e}^{C}$ は定数ですので，これを改めて $C$ と書けば，
<tex>
u = C \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{21}
</tex>
となります。
解
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纏めますと， ${u}^{\prime} = a {u}^{k}$ の解は， $C$ を積分定数として，
<tex>
u =
\left\{
\begin{array}{ll}
C \mathrm{e}^{at} & (k = 1) \\
{\left\{ a (1 - k) t + C \right\}}^
{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \, 1 - k \, }}
& (k \neq 1)
\end{array}
\right.
</tex>
となります。これは， ${t}^{j}$ の $t$ での積分，
即ち $\int \! {t}^{j} \, \mathrm{d}t$ が， $j = -1$ と $j \neq -1$ とで
解の形が変わるという事と同じ事ですね。
と，いうことで，今回のコラムはこれで終わります。合掌
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-
% 数式用ページ内リンク
.. _(5) 式: #eq05
.. _(6) 式: #eq06
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-
% 脚注 (参考) 用ページ内リンク
.. _(註 1): #cf01
.. _(註 2): #cf02
.. _(註 3): #cf03
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-
% ページ外リンク
.. _変数分離形: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/
@@author:K. I.@@
@@accept:2014-07-19@@
@@category:コラム@@
@@id:column0001@@
