間違い報告/131 のバックアップ(No.8)
間違い報告/131 のバックアップ(No.8)
半群が簡約則を満たしても、一般には群にならないと思います。 （単位元・逆元の一意性は示せても、存在性が示せません） もちろん、群であれば、簡約則は成り立ちますから必要条件ではありますが、十分ではないハズです。
反例： 整数からゼロを除いたものＺ^*は、 乗法に関して可換半群を成し、任意のでcancellation lawが成立しますが、±1以外の元は逆元を持ちません。
従って、「群は半群でもあるので，もちろん簡約法則を満たします」という記述も逆ですね。（群だからこそ成り立つハズ）
式（5）の読み替えが、群になることを前提としているので、この辺りからおかしくなっているんだと思います。
