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============================================================ 微分幾何学における流れの具体例 ============================================================ この記事では、リー微分を理解するのに必要な流れの具体例をいくつか見ます。 記法としては、中原幹夫先生の理論物理学のための幾何学とトポロジーIのものを採用します。 以下では二次元平面上の事を考え、ベクトル場を $X^\mu$ で、積分曲線を $\sigma^\mu$ とします。 すると、 <tex> \dfrac{d}{dt} \sigma^\mu = X^\mu(\sigma^1,\sigma^2) \tag{##} </tex> を満たします。 例1 =========================== ベクトル場 <tex> X = -y \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{##} </tex> あるいは、同じことですが、 <tex> \begin{pmatrix} X^1 \\ X^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \tag{##} </tex> に対して、積分曲線は <tex> \sigma &= \begin{pmatrix} \sigma^1 \\ \sigma^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x \cos t - y \sin t \\ x \sin t + y \cos t \end{pmatrix} \tag{##} </tex> と書けます。 すると、 <tex> \dfrac{d}{dt}\sigma &= \begin{pmatrix} - x \sin t - y \cos t \\ x \cos t - y \sin t \end{pmatrix} \tag{##} </tex> であり、一方、 <tex> X(\sigma) &= \left( -y \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \right) \begin{pmatrix} x \cos t - y \sin t \\ x \sin t + y \cos t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -y \cos t - x \sin t \\ -y \sin t + x \cos t \end{pmatrix} \tag{##} </tex> だから、 <tex> \dfrac{d}{dt}\sigma^\mu &= X^\mu (\sigma^1,\sigma^2) \tag{##} </tex> が確かに成り立っています。 与えられた $X^\mu$ に対する $\sigma$ を求めるには、式 $(7)$ を具体的に書いて、 <tex> \dfrac{d}{dt}\sigma^1 &= \left( -y \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \right)\sigma^1 \\ \dfrac{d}{dt}\sigma^2 &= \left( -y \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \right)\sigma^2 \tag{##} </tex> で、 $\sigma^1 = x, \sigma^2=y$ つまり、 $\dfrac{\partial \sigma^1}{\partial x} = \dfrac{\partial \sigma^2}{\partial y} = 1$ と、 $\dfrac{\partial \sigma^1}{\partial y} = \dfrac{\partial \sigma^2}{\partial x} = 0$ に気が付けば簡単で、 <tex> \dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \tag{##} </tex> を解けば良いです。 積分曲線は、式 $(4)$ から $t$ を消去して、初期位置 $(x,y)$ として、 <tex> (\sigma^1)^2 + (\sigma^2)^2 = x^2 + y^2 = const. \tag{##} </tex> となります。つまり、積分曲線は同心円となります。 例2 ================== 例1と同様なので、要点だけ書きます。 <tex> X = y \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{##} </tex> <tex> \sigma = \begin{pmatrix} x \cosh t + y \sinh t \\ x \sinh t + y \cosh t \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> (\sigma^1)^2 - (\sigma^2)^2 = x^2 - y^2 = const. \tag{##} </tex> これは双曲線です。 例3 ================== <tex> X = x \dfrac{\partial}{\partial x} + y \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{##} </tex> <tex> \sigma = \begin{pmatrix} x e^{t} \\ y e^{t} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> \sigma^2/\sigma^1 = y/x = const. \tag{##} </tex> <tex> \sigma^1 = 0 \tag{##} </tex> これは原点を通る直線です。 例4 ================== <tex> X = -x \dfrac{\partial}{\partial x} + y \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{##} </tex> <tex> \sigma = \begin{pmatrix} x e^{-t} \\ y e^{t} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> \sigma^1\sigma^2 = xy = const. \tag{##} </tex> これは双曲線です。 例5 ================== <tex> X = \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{##} </tex> <tex> \sigma = \begin{pmatrix} x + t \\ xt +\dfrac{t^2}{2} - y \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> \sigma^2 - (\sigma^1)^2 = y - x^2 = const. \tag{##} </tex> この例は今までのやり方と少し異なる工夫が必要です。 解くべき方程式は、 <tex> \dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} </tex> です。ここで、 <tex> N= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </tex> と置きます。 すると、解は <tex> \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} &= \exp \left( N t \right) \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}t^2/2 \right) \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \\ </tex> となります。ここで、 $N^k = O (k \geq 3)$ を用いました。 この記事の内容を踏まえて、次回、リー微分について書こうと思います。 今日はここまで。お疲れさまでした。 @@reference: 中原幹夫 佐久間一浩,理論物理学のための幾何学とトポロジーI,ピアソン・エデュケーション社,2000,p145-p148,4894711656@@ @@author:クロメル@@ @@accept:2019-07-31@@ @@category:物理数学@@ @@id:flow@@