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p-ベクトルの内積
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私達は、外積空間 $\land ^{k} V \ (p<n)$ が、各 $k$ に応じ...
しかし、思い起こせば、 $V$ には自然に内積という演算が入っ...
.. [*] 内積は演算というよりはむしろ、二つの元をスカラーに...
p-ベクトルの内積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まず、 内積空間_ の記事に書いた、内積の定義を再掲します。...
【内積の定義】
1. 線形性がある。 $(\alpha x + \beta y)\cdot z=\alpha x\c...
2. 対称性がある。 $x\cdot y=y\cdot x$
3. 正定値性がある。 $x\cdot x\geq 0,\ \ \ x\cdot x=0\ \...
逆に言えば、 $1.$ 〜 $3.$ を満たす演算が何か定義できれば...
さて、こんなことを念頭に置きつつ、 $\land ^{k} V $ に属す...
.. [*] 今後、 $V$ として考えるベクトル空間は、ユークリッ...
<tex>
(\lambda, \mu ) &= {\rm det}[(\alpha_{i} , \beta_{j})] \\
& =
\left|
\begin{array}{cccc}
(\alpha_{1} , \beta_{2}) & (\alpha_{1} , \beta_{2}) & \c...
(\alpha_{2} , \beta_{1}) & (\alpha_{2} , \beta_{2}) & \c...
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(\alpha_{k} , \beta_{1}) & \cdots & \cdots ...
\end{array}
\right| \tag{1}
</tex>
行列の各成分は、 $V$ 上の普通の内積になっています。この行...
内積の性質 $(2)$ も、 $V$ のベクトルの内積について $(\alp...
性質 $(3)$ についてですが、式 $(1)$ の行列式が常に正定値...
.. [*] このように正定値性を緩めた内積を、不定値内積と呼び...
.. [*] 上の註で書いたことは、『今後は、ノルムが必ずしも正...
マイナスの記号に少し慣れないかも知れませんが、拡張された...
<tex>
(\sigma^{i} ,\sigma^{j}) = \pm \delta ^{ij}
</tex>
右辺の $\delta ^{ij}$ はクロネッカーのデルタです。正規直...
<tex>
d\tau ^{2} = dx^{2}+dy^{2} + dz^{2} - c^{2}dt^{2}
</tex>
最初の $(x,y,z)$ は普通の三次元ユークリッド空間 $E^{3}$ ...
.. [*] ミンコフスキー空間では、距離がマイナスという場合が...
ここまでで、式 $(1)$ で定義した『 $p-$ ベクトルの内積』が...
.. [*] 内積は 内積と双対空間_ で紹介したように、双線形関...
外積代数の正規直交基底
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
さきほどのように、行列式の形で内積を定義したままでは、ベ...
まず $V$ の正規直交基底を $\{ \sigma^{1},\sigma^{2},...,\...
.. [*] 基底の添え字を式で書くと少し面倒ですが、 $k <n$ と...
ここで、 $\land^{k}V$ の基底 $\sigma^{H},\sigma^{L}$ を式...
<tex>
(\sigma^{H}, \sigma^{L}) = {\rm det}[(\sigma^{h_{i}},\sig...
</tex>
右辺の行列の成分を見てみると、 $\sigma^{h_{i}}$ や $\sigm...
.. admonition:: theorem
式 $(1)$ で定義される内積により、外積代数 $\land ^{k} V$...
ひとつの定理
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
後で、 ホッジのスター作用素_ の記事で使いたいので、ここで...
.. admonition:: lemma
ベクトル空間 $V$ 上の線形汎関数 $f \ (\in V^{*})$ と任意...
線形汎関数によって、ベクトルはスカラーに移されます。一方...
.. admonition:: proof
$V$ の正規直交基底を $\{ \sigma^{1},\sigma^{2},...,\si...
空間の符号定数について補足
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
先ほど、註でミンコフスキー空間について少し触れました。ミ...
一般に、 $n$ 次元のベクトル空間の基底で、内積が正になるも...
.. [*] 符号定数については正負を逆にする流儀もあります。そ...
.. [*] 符号定数 $t$ を用いれば、 $s=\frac{1}{2}(n-t)$ と...
.. _ホッジのスター作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/di...
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/differenti...
.. _外積代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _内積と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@category: 微分形式@@
@@id: pVectorSpace@@
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p-ベクトルの内積
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私達は、外積空間 $\land ^{k} V \ (p<n)$ が、各 $k$ に応じ...
しかし、思い起こせば、 $V$ には自然に内積という演算が入っ...
.. [*] 内積は演算というよりはむしろ、二つの元をスカラーに...
p-ベクトルの内積
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まず、 内積空間_ の記事に書いた、内積の定義を再掲します。...
【内積の定義】
1. 線形性がある。 $(\alpha x + \beta y)\cdot z=\alpha x\c...
2. 対称性がある。 $x\cdot y=y\cdot x$
3. 正定値性がある。 $x\cdot x\geq 0,\ \ \ x\cdot x=0\ \...
逆に言えば、 $1.$ 〜 $3.$ を満たす演算が何か定義できれば...
さて、こんなことを念頭に置きつつ、 $\land ^{k} V $ に属す...
.. [*] 今後、 $V$ として考えるベクトル空間は、ユークリッ...
<tex>
(\lambda, \mu ) &= {\rm det}[(\alpha_{i} , \beta_{j})] \\
& =
\left|
\begin{array}{cccc}
(\alpha_{1} , \beta_{2}) & (\alpha_{1} , \beta_{2}) & \c...
(\alpha_{2} , \beta_{1}) & (\alpha_{2} , \beta_{2}) & \c...
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(\alpha_{k} , \beta_{1}) & \cdots & \cdots ...
\end{array}
\right| \tag{1}
</tex>
行列の各成分は、 $V$ 上の普通の内積になっています。この行...
内積の性質 $(2)$ も、 $V$ のベクトルの内積について $(\alp...
性質 $(3)$ についてですが、式 $(1)$ の行列式が常に正定値...
.. [*] このように正定値性を緩めた内積を、不定値内積と呼び...
.. [*] 上の註で書いたことは、『今後は、ノルムが必ずしも正...
マイナスの記号に少し慣れないかも知れませんが、拡張された...
<tex>
(\sigma^{i} ,\sigma^{j}) = \pm \delta ^{ij}
</tex>
右辺の $\delta ^{ij}$ はクロネッカーのデルタです。正規直...
<tex>
d\tau ^{2} = dx^{2}+dy^{2} + dz^{2} - c^{2}dt^{2}
</tex>
最初の $(x,y,z)$ は普通の三次元ユークリッド空間 $E^{3}$ ...
.. [*] ミンコフスキー空間では、距離がマイナスという場合が...
ここまでで、式 $(1)$ で定義した『 $p-$ ベクトルの内積』が...
.. [*] 内積は 内積と双対空間_ で紹介したように、双線形関...
外積代数の正規直交基底
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さきほどのように、行列式の形で内積を定義したままでは、ベ...
まず $V$ の正規直交基底を $\{ \sigma^{1},\sigma^{2},...,\...
.. [*] 基底の添え字を式で書くと少し面倒ですが、 $k <n$ と...
ここで、 $\land^{k}V$ の基底 $\sigma^{H},\sigma^{L}$ を式...
<tex>
(\sigma^{H}, \sigma^{L}) = {\rm det}[(\sigma^{h_{i}},\sig...
</tex>
右辺の行列の成分を見てみると、 $\sigma^{h_{i}}$ や $\sigm...
.. admonition:: theorem
式 $(1)$ で定義される内積により、外積代数 $\land ^{k} V$...
ひとつの定理
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後で、 ホッジのスター作用素_ の記事で使いたいので、ここで...
.. admonition:: lemma
ベクトル空間 $V$ 上の線形汎関数 $f \ (\in V^{*})$ と任意...
線形汎関数によって、ベクトルはスカラーに移されます。一方...
.. admonition:: proof
$V$ の正規直交基底を $\{ \sigma^{1},\sigma^{2},...,\si...
空間の符号定数について補足
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先ほど、註でミンコフスキー空間について少し触れました。ミ...
一般に、 $n$ 次元のベクトル空間の基底で、内積が正になるも...
.. [*] 符号定数については正負を逆にする流儀もあります。そ...
.. [*] 符号定数 $t$ を用いれば、 $s=\frac{1}{2}(n-t)$ と...
.. _ホッジのスター作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/di...
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/differenti...
.. _外積代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _内積と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@category: 微分形式@@
@@id: pVectorSpace@@
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