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====================================================
gradの積分形による定義
====================================================
はじめに、 $\bm{A}=\bm{c}\phi(x_{1},x_{2},x_{3})$ という...
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \nabla \cdot \bm{A} dV =
\int \int \limits _{S} \bm{A} \cdot d\bm{S}
\ \ \
\Longrightarrow
\ \ \
\int \int \int \limits _{V} \bm{c} \cdot \nabla \phi dV =
\int \int \limits _{S} \phi \bm{c} \cdot \bm{n}dS \ta...
</tex>
ただし、式中、 $S$ はある閉曲面、 $V$ は $S$ によって囲ま...
<tex>
\bm{c} \cdot \left(
\int \int \int \limits _{V} \nabla \phi dV
- \int \int \limits _{S} \phi d\bm{S}
\right) = 0 \tag{2}
</tex>
式 $(2)$ で $\bm{c}$ は任意のベクトルなので、 $\bm{c}$ に...
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \nabla \phi dV
= \int \int \limits _{S} \phi d\bm{S} \tag{3}
</tex>
ここで、左辺の中身は $\nabla \phi= \left( \frac{\partial...
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \frac{\partial \phi}{\partia...
</tex>
ここで、式 $(4)$ の積分について中間値の定理を用いると、領...
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \frac{\partial \phi}{\partia...
= V \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}} \right) ...
</tex>
.. [*] 中間値の定理に馴れていない人のために補足説明してお...
式 $(5)$ を 式 $(3)$ の左辺に代入すると、第一成分について...
<tex>
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}} \right) _{M...
\int \int \limits _{S} \phi (\bm{e_{x_{1}}} \cdot d\bm{...
</tex>
次に、 $V$ 内の任意の一点 $P$ を考えます。一般に $P$ と $...
.. figure:: Joh-GradByIntegral01.gif
領域を一点 $P$ に狭めていけば、平均値を与える点 $M$ も $...
そこで、 $V$ 内の任意の一点 $P$ に対して、次式が成り立ち...
<tex>
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}} \right) _{P...
\int \int \limits _{S} \phi (\bm{e_{x_{1}}} \cdot d\bm{...
</tex>
同様にして、 $x_{2},x_{3}$ 成分についても次式が成り立ちま...
<tex>
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{2}} \right) _{P...
\int \int \limits _{S} \phi (\bm{e_{x_{2}}} \cdot d\bm{...
</tex>
<tex>
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}} \right) _{P...
\int \int \limits _{S} \phi (\bm{e_{x_{3}}} \cdot d\bm{...
</tex>
式 $(7-1)(7-2)(7-3)$ を足すことで、次式を得ます。これが、...
<tex>
{\rm grad}\phi = \nabla \phi = \lim \limits _{V \rightar...
</tex>
右辺の極値が本当に存在するかどうかについて、細かな議論を...
.. important::
勾配 ${\rm grad}\phi$ は、座標系の取り方によらない。
これは非常に素敵な性質です♪ もし、何かの関係式(例えば物...
.. [*] ただし、式自体はどの座標系でも成り立ちますが、それ...
電磁気学や流体力学には $\nabla$ を使って表現した物理法則...
.. _微分形式の理論: http://www12.plala.or.jp/ksp/differen...
.. _単連結: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/I...
.. _ベクトルの関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _積分定理のまとめと展望: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: GradByIntegral@@
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gradの積分形による定義
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はじめに、 $\bm{A}=\bm{c}\phi(x_{1},x_{2},x_{3})$ という...
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\int \int \int \limits _{V} \nabla \cdot \bm{A} dV =
\int \int \limits _{S} \bm{A} \cdot d\bm{S}
\ \ \
\Longrightarrow
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\int \int \int \limits _{V} \bm{c} \cdot \nabla \phi dV =
\int \int \limits _{S} \phi \bm{c} \cdot \bm{n}dS \ta...
</tex>
ただし、式中、 $S$ はある閉曲面、 $V$ は $S$ によって囲ま...
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\bm{c} \cdot \left(
\int \int \int \limits _{V} \nabla \phi dV
- \int \int \limits _{S} \phi d\bm{S}
\right) = 0 \tag{2}
</tex>
式 $(2)$ で $\bm{c}$ は任意のベクトルなので、 $\bm{c}$ に...
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \nabla \phi dV
= \int \int \limits _{S} \phi d\bm{S} \tag{3}
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ここで、左辺の中身は $\nabla \phi= \left( \frac{\partial...
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\int \int \int \limits _{V} \frac{\partial \phi}{\partia...
</tex>
ここで、式 $(4)$ の積分について中間値の定理を用いると、領...
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\int \int \int \limits _{V} \frac{\partial \phi}{\partia...
= V \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}} \right) ...
</tex>
.. [*] 中間値の定理に馴れていない人のために補足説明してお...
式 $(5)$ を 式 $(3)$ の左辺に代入すると、第一成分について...
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\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}} \right) _{M...
\int \int \limits _{S} \phi (\bm{e_{x_{1}}} \cdot d\bm{...
</tex>
次に、 $V$ 内の任意の一点 $P$ を考えます。一般に $P$ と $...
.. figure:: Joh-GradByIntegral01.gif
領域を一点 $P$ に狭めていけば、平均値を与える点 $M$ も $...
そこで、 $V$ 内の任意の一点 $P$ に対して、次式が成り立ち...
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\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}} \right) _{P...
\int \int \limits _{S} \phi (\bm{e_{x_{1}}} \cdot d\bm{...
</tex>
同様にして、 $x_{2},x_{3}$ 成分についても次式が成り立ちま...
<tex>
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{2}} \right) _{P...
\int \int \limits _{S} \phi (\bm{e_{x_{2}}} \cdot d\bm{...
</tex>
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\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}} \right) _{P...
\int \int \limits _{S} \phi (\bm{e_{x_{3}}} \cdot d\bm{...
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式 $(7-1)(7-2)(7-3)$ を足すことで、次式を得ます。これが、...
<tex>
{\rm grad}\phi = \nabla \phi = \lim \limits _{V \rightar...
</tex>
右辺の極値が本当に存在するかどうかについて、細かな議論を...
.. important::
勾配 ${\rm grad}\phi$ は、座標系の取り方によらない。
これは非常に素敵な性質です♪ もし、何かの関係式(例えば物...
.. [*] ただし、式自体はどの座標系でも成り立ちますが、それ...
電磁気学や流体力学には $\nabla$ を使って表現した物理法則...
.. _微分形式の理論: http://www12.plala.or.jp/ksp/differen...
.. _単連結: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/I...
.. _ベクトルの関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _積分定理のまとめと展望: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: GradByIntegral@@
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