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2次方程式の解の公式
=========================================================...
2次方程式には「解の公式」なるものが存在します.
中学・高校では頻繁に使うのですが,個人的に最近はあまり使...
公式の存在すら忘れてしまい「ん,これはどうやって解くんだ...
なんてことにならないためにも,そして「公式」に頼りきらな...
2次方程式の解の公式を導出をしてみましょー.
さらに学びたい人には, 平方完成の図形的イメージ_ という姉...
解の公式
========
まずは公式そのものの確認です.2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の...
<tex>
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \tag{#def(eq:1)}
</tex>
で与えられるという公式,これが「2次方程式の解の公式」です.
ほとんどの人が,中学生のとき数学の授業で暗記させられたと...
みなさんは,まだ覚えていますか?(僕はついこないだまで忘...
導出
======
それでは,解の公式を導いてみます.
単純に,2次方程式を平方完成して解けば良いです.つぎの2次...
<tex>
ax^2+bx+c=0
</tex>
を,実際に平方完成して解いて行きましょう
(平方完成の手順を忘れてしまった人は,その復習にもなりま...
最初に,一番次数の大きい $x^2$ の係数で $x$ の項を括りま...
いまの場合は $a$ で括ることになります.
<tex>
a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c &= 0 \tag{#def(eq:a)}
</tex>
そして,括ったカッコを2乗(平方)の形にします.ここが平方...
<tex>
a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\left(\frac{b}{2a}\right...
</tex>
このとき,マイナスの項が出てくる理由はいいですよね
(よく分からなければ,実際に式(#ref(eq:b))を計算して,
式(#ref(eq:a))に戻ることを確かめてみてください).
式(#ref(eq:b))の左辺第1項だけを左辺に残し,それ以外は右辺...
<tex>
a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= a\left(\frac{b}{2a}\ri...
</tex>
上式の両辺を $a$ で割って( $a \ne 0$ とします),右辺を...
<tex>
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= \left(\frac{b}{2a}\righ...
&= \frac{b^2}{2^2 a^2}-\frac{c}{a}\\
&= \frac{b^2-4ac}{4a^2}
</tex>
となります.ここまでくれば,後は
<tex>
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \ta...
</tex>
を変形して $x=$ の形にしてやれば解の公式のできあがりです.
とりあえず,左辺の2乗を外したいですね.
たとえば「 $x^2=u$ 」という式があって, $x^2$ の二乗を外...
右辺をルートにすれば良いのでした.しかし $x=\sqrt{u}$ で...
二乗して $u$ になる数は $+\sqrt{u}$ と $-\sqrt{u}$ の二つ...
したがってこの例では $x=\pm\sqrt{u}$ となります.
これを踏まえて式(#ref(eq:c))を変形しますと
<tex>
x+\frac{b}{2a} &= \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
</tex>
となります.そして左辺第2項を移項して
<tex>
x = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}-\frac{b}{2a}
</tex>
通分すると
<tex>
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
</tex>
のできあがりです.これで,解の公式(#ref(eq:1))の導出が完...
導出の流れさえ理解しておけば,解の公式を忘れてしまっても,
$ax^2+bx+c=0$ からスタートしていつでも導くことができます.
解の公式を導く方法は上の通りでしたが,「平方完成」とはど...
知りたい方は 平方完成の図形的イメージ_ に進んでみてくださ...
.. _平方完成の図形的イメージ: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2005-11-13@@
@@category: 代数学@@
@@id:kainokoshiki@@
終了行:
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2次方程式の解の公式
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2次方程式には「解の公式」なるものが存在します.
中学・高校では頻繁に使うのですが,個人的に最近はあまり使...
公式の存在すら忘れてしまい「ん,これはどうやって解くんだ...
なんてことにならないためにも,そして「公式」に頼りきらな...
2次方程式の解の公式を導出をしてみましょー.
さらに学びたい人には, 平方完成の図形的イメージ_ という姉...
解の公式
========
まずは公式そのものの確認です.2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の...
<tex>
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \tag{#def(eq:1)}
</tex>
で与えられるという公式,これが「2次方程式の解の公式」です.
ほとんどの人が,中学生のとき数学の授業で暗記させられたと...
みなさんは,まだ覚えていますか?(僕はついこないだまで忘...
導出
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それでは,解の公式を導いてみます.
単純に,2次方程式を平方完成して解けば良いです.つぎの2次...
<tex>
ax^2+bx+c=0
</tex>
を,実際に平方完成して解いて行きましょう
(平方完成の手順を忘れてしまった人は,その復習にもなりま...
最初に,一番次数の大きい $x^2$ の係数で $x$ の項を括りま...
いまの場合は $a$ で括ることになります.
<tex>
a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c &= 0 \tag{#def(eq:a)}
</tex>
そして,括ったカッコを2乗(平方)の形にします.ここが平方...
<tex>
a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\left(\frac{b}{2a}\right...
</tex>
このとき,マイナスの項が出てくる理由はいいですよね
(よく分からなければ,実際に式(#ref(eq:b))を計算して,
式(#ref(eq:a))に戻ることを確かめてみてください).
式(#ref(eq:b))の左辺第1項だけを左辺に残し,それ以外は右辺...
<tex>
a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= a\left(\frac{b}{2a}\ri...
</tex>
上式の両辺を $a$ で割って( $a \ne 0$ とします),右辺を...
<tex>
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= \left(\frac{b}{2a}\righ...
&= \frac{b^2}{2^2 a^2}-\frac{c}{a}\\
&= \frac{b^2-4ac}{4a^2}
</tex>
となります.ここまでくれば,後は
<tex>
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \ta...
</tex>
を変形して $x=$ の形にしてやれば解の公式のできあがりです.
とりあえず,左辺の2乗を外したいですね.
たとえば「 $x^2=u$ 」という式があって, $x^2$ の二乗を外...
右辺をルートにすれば良いのでした.しかし $x=\sqrt{u}$ で...
二乗して $u$ になる数は $+\sqrt{u}$ と $-\sqrt{u}$ の二つ...
したがってこの例では $x=\pm\sqrt{u}$ となります.
これを踏まえて式(#ref(eq:c))を変形しますと
<tex>
x+\frac{b}{2a} &= \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
</tex>
となります.そして左辺第2項を移項して
<tex>
x = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}-\frac{b}{2a}
</tex>
通分すると
<tex>
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
</tex>
のできあがりです.これで,解の公式(#ref(eq:1))の導出が完...
導出の流れさえ理解しておけば,解の公式を忘れてしまっても,
$ax^2+bx+c=0$ からスタートしていつでも導くことができます.
解の公式を導く方法は上の通りでしたが,「平方完成」とはど...
知りたい方は 平方完成の図形的イメージ_ に進んでみてくださ...
.. _平方完成の図形的イメージ: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2005-11-13@@
@@category: 代数学@@
@@id:kainokoshiki@@
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