記事ソース/累開冪拡大体とガロア群の関係
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
累開冪拡大とガロア群の関係
=========================================================...
方程式の可解性を考える準備は、いよいよ大詰めです。累開冪...
ラグランジェのリゾルベント
=========================================================...
まず、ラグランジェのリゾルベントと言われる量を導入します...
<tex>
L (\zeta , \theta _{i}) = \theta_{0} + \zeta \theta _{1} ...
</tex>
式 $(1)$ を念頭に、 $f(x)$ を体 $F$ 上の代数方程式だとし...
<tex>
L (\zeta ^{k} ,\theta ) & = \theta + \zeta ^{k} (\phi \th...
& = \sum _{m=0}^{n-1}
\zeta ^{km} (\phi ^{m} \theta )
\tag{2}
</tex>
後で、この形でラグランジェのリゾルベントを利用します。ま...
<tex>
\sum _{k=0} ^{n-1} L(\zeta ^{k},\theta) &=
\sum _{k=0} ^{n-1}
\sum _{m=0}^{n-1}
\zeta ^{km} (\phi ^{m} \theta ) \\
& =
\sum _{m=0}^{n-1}
\left(
\sum _{k=0} ^{n-1} (\zeta ^{m})^{k}
\right)
(\phi ^{m}\theta) \tag{3}
</tex>
式 $(3)$ の右辺の括弧部分は、 $1 + \zeta ^{m} + \zeta ^ {...
<tex>
\sum _{k=0} ^{n-1} (\zeta ^{m})^{k} &= 1 + \zeta ^{m} + \...
+ \zeta ^{m(k-1)} \\
&= \begin{cases}
n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (m \equiv 0 \ {\rm mod.}...
\cr \frac{1-(\zeta ^{m})^{k}}{1-\zeta ^{m}}=0 \ \ \ \ (...
\end{cases}
</tex>
そこで、式 $(3)$ の $\Sigma$ で生き残るのは、 $m=0$ の場...
<tex>
\sum _{k=0} ^{n-1} L(\zeta ^{k},\theta) &=
\sum _{k=0} ^{n-1}
\sum _{m=0}^{n-1}
\zeta ^{km} (\phi ^{m} \theta ) = n\theta
</tex>
式 $(3)$ より、 $f(x)=0$ の解 $\theta$ を次のように表現す...
<tex>
\theta = \frac{1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} L(\zeta ^{k},\thet...
</tex>
.. [*] これは、ラグランジェ( $\text{Joseph-Louis Lagrange...
もう一つ、重要な関係式を導いておきます。式 $(2)$ の両辺に...
<tex>
\zeta ^{-k}L (\zeta ^{k} ,\theta ) & = \zeta ^{-k} \theta...
</tex>
右辺第一項を、 $\phi ^{n}\theta =\theta$ , $\zeta ^{kn}=1...
<tex>
\zeta ^{-k}L (\zeta ^{k} ,\theta ) & = \zeta ^{-k} \theta...
&= \zeta ^{k(n-1)} ( \phi ^{n} \theta ) + \phi \theta +...
&= \phi \theta + \zeta ^{k} \phi ^{2} \theta + ... + \...
&= L(\zeta ^{k}, \phi \theta ) \tag{6}
</tex>
よって、次の関係式が得られました。
<tex>
L(\zeta ^{k}, \phi \theta )= \zeta ^{-k}L (\zeta ^{k} ,\t...
</tex>
また、 $\phi$ が $\zeta$ を不動に保つことを考えると、 $\p...
<tex>
\phi L(\zeta ^{k} , \theta )= L(\zeta ^{k} , \phi \theta...
</tex>
さらに、 $\zeta ^{-kn}=1$ を使って、式 $(7)$ から次式を導...
<tex>
(L(\zeta ^{k},\theta))^{n} &= \zeta ^{-kn} (L(\zeta ^{k},...
&= ( \zeta ^{-k} L(\zeta ^{k},\theta))^{n} \\
&= (L(\zeta ^{k} , \phi \theta ))^{n} \\
&= (\phi L(\zeta ^{k} , \theta ))^{n} \\
&= \phi L(\zeta ^{k} , \theta ) \cdot \phi L(\zeta ^{k} ...
&= \phi (L(\zeta ^{k} , \theta ))^{n} \tag{8}
</tex>
最後のところでは、 $\phi$ が準同型写像であること、つまり...
<tex>
\phi (L(\zeta ^{k} , \theta ))^{n} = (L(\zeta ^{k} , \the...
</tex>
ラグランジェのリゾルベントの導入が長くなりましたが、ここ...
定理
=========================================================...
.. admonition:: theorem
体 $F$ のガロア拡大 $E$ を考えます。もしガロア群 $\cal G...
この定理は非常に重要で、これによって開冪拡大の列とガロア...
以下は、この定理の証明です。
特殊な場合
---------------------------------------------------------...
まず、 $|\cal G \it (E/F)|=n$ として、 $1$ の $n$ 乗根 $1...
式 $(9)$ より、 $(L(\zeta ^{k} , \theta ))^{n}$ の形で表...
<tex>
F=F_{0} \subset F_{1} \subset ... \subset F_{n} \tag{10}
</tex>
こ方程式 $x^{n}-\alpha _{i}=0$ の解ということは、 $\alpha...
<tex>
E = F(\theta ) \subset F_{n} \tag{11}
</tex>
<tex>
\theta = \frac{1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} L(\zeta ^{k},\thet...
</tex>
これより、 $E$ は $F$ の累開冪拡大であることが示されまし...
一般の場合
---------------------------------------------------------...
まず特殊な場合として、 $1$ の $n$ 乗根が全て $F$ に含まれ...
まず $E$ は、 $\theta$ を解とする $F$ 上の方程式 $f(x)$ ...
.. _こちら: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Solvable...
.. _`1のn乗根`: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/1sNt...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: SuccessiveExtentionGalois@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
累開冪拡大とガロア群の関係
=========================================================...
方程式の可解性を考える準備は、いよいよ大詰めです。累開冪...
ラグランジェのリゾルベント
=========================================================...
まず、ラグランジェのリゾルベントと言われる量を導入します...
<tex>
L (\zeta , \theta _{i}) = \theta_{0} + \zeta \theta _{1} ...
</tex>
式 $(1)$ を念頭に、 $f(x)$ を体 $F$ 上の代数方程式だとし...
<tex>
L (\zeta ^{k} ,\theta ) & = \theta + \zeta ^{k} (\phi \th...
& = \sum _{m=0}^{n-1}
\zeta ^{km} (\phi ^{m} \theta )
\tag{2}
</tex>
後で、この形でラグランジェのリゾルベントを利用します。ま...
<tex>
\sum _{k=0} ^{n-1} L(\zeta ^{k},\theta) &=
\sum _{k=0} ^{n-1}
\sum _{m=0}^{n-1}
\zeta ^{km} (\phi ^{m} \theta ) \\
& =
\sum _{m=0}^{n-1}
\left(
\sum _{k=0} ^{n-1} (\zeta ^{m})^{k}
\right)
(\phi ^{m}\theta) \tag{3}
</tex>
式 $(3)$ の右辺の括弧部分は、 $1 + \zeta ^{m} + \zeta ^ {...
<tex>
\sum _{k=0} ^{n-1} (\zeta ^{m})^{k} &= 1 + \zeta ^{m} + \...
+ \zeta ^{m(k-1)} \\
&= \begin{cases}
n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (m \equiv 0 \ {\rm mod.}...
\cr \frac{1-(\zeta ^{m})^{k}}{1-\zeta ^{m}}=0 \ \ \ \ (...
\end{cases}
</tex>
そこで、式 $(3)$ の $\Sigma$ で生き残るのは、 $m=0$ の場...
<tex>
\sum _{k=0} ^{n-1} L(\zeta ^{k},\theta) &=
\sum _{k=0} ^{n-1}
\sum _{m=0}^{n-1}
\zeta ^{km} (\phi ^{m} \theta ) = n\theta
</tex>
式 $(3)$ より、 $f(x)=0$ の解 $\theta$ を次のように表現す...
<tex>
\theta = \frac{1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} L(\zeta ^{k},\thet...
</tex>
.. [*] これは、ラグランジェ( $\text{Joseph-Louis Lagrange...
もう一つ、重要な関係式を導いておきます。式 $(2)$ の両辺に...
<tex>
\zeta ^{-k}L (\zeta ^{k} ,\theta ) & = \zeta ^{-k} \theta...
</tex>
右辺第一項を、 $\phi ^{n}\theta =\theta$ , $\zeta ^{kn}=1...
<tex>
\zeta ^{-k}L (\zeta ^{k} ,\theta ) & = \zeta ^{-k} \theta...
&= \zeta ^{k(n-1)} ( \phi ^{n} \theta ) + \phi \theta +...
&= \phi \theta + \zeta ^{k} \phi ^{2} \theta + ... + \...
&= L(\zeta ^{k}, \phi \theta ) \tag{6}
</tex>
よって、次の関係式が得られました。
<tex>
L(\zeta ^{k}, \phi \theta )= \zeta ^{-k}L (\zeta ^{k} ,\t...
</tex>
また、 $\phi$ が $\zeta$ を不動に保つことを考えると、 $\p...
<tex>
\phi L(\zeta ^{k} , \theta )= L(\zeta ^{k} , \phi \theta...
</tex>
さらに、 $\zeta ^{-kn}=1$ を使って、式 $(7)$ から次式を導...
<tex>
(L(\zeta ^{k},\theta))^{n} &= \zeta ^{-kn} (L(\zeta ^{k},...
&= ( \zeta ^{-k} L(\zeta ^{k},\theta))^{n} \\
&= (L(\zeta ^{k} , \phi \theta ))^{n} \\
&= (\phi L(\zeta ^{k} , \theta ))^{n} \\
&= \phi L(\zeta ^{k} , \theta ) \cdot \phi L(\zeta ^{k} ...
&= \phi (L(\zeta ^{k} , \theta ))^{n} \tag{8}
</tex>
最後のところでは、 $\phi$ が準同型写像であること、つまり...
<tex>
\phi (L(\zeta ^{k} , \theta ))^{n} = (L(\zeta ^{k} , \the...
</tex>
ラグランジェのリゾルベントの導入が長くなりましたが、ここ...
定理
=========================================================...
.. admonition:: theorem
体 $F$ のガロア拡大 $E$ を考えます。もしガロア群 $\cal G...
この定理は非常に重要で、これによって開冪拡大の列とガロア...
以下は、この定理の証明です。
特殊な場合
---------------------------------------------------------...
まず、 $|\cal G \it (E/F)|=n$ として、 $1$ の $n$ 乗根 $1...
式 $(9)$ より、 $(L(\zeta ^{k} , \theta ))^{n}$ の形で表...
<tex>
F=F_{0} \subset F_{1} \subset ... \subset F_{n} \tag{10}
</tex>
こ方程式 $x^{n}-\alpha _{i}=0$ の解ということは、 $\alpha...
<tex>
E = F(\theta ) \subset F_{n} \tag{11}
</tex>
<tex>
\theta = \frac{1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} L(\zeta ^{k},\thet...
</tex>
これより、 $E$ は $F$ の累開冪拡大であることが示されまし...
一般の場合
---------------------------------------------------------...
まず特殊な場合として、 $1$ の $n$ 乗根が全て $F$ に含まれ...
まず $E$ は、 $\theta$ を解とする $F$ 上の方程式 $f(x)$ ...
.. _こちら: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Solvable...
.. _`1のn乗根`: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/1sNt...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: SuccessiveExtentionGalois@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.