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=================================
力学的エネルギー保存則の導出
=================================
力学的エネルギー保存則を運動方程式から導いてみましょう.
1. 運動方程式を立てる
2. 両辺に速度の成分を掛ける
3. 両辺を微分の形で表す
4. イコールゼロの形にする
という手順で導きます.
運動方程式を立てる
====================
まず,つぎのような運動方程式を考えます.
<tex>
ma = -kx + mg
</tex>
これは重力 $mg$ とばねの力 $-kx$ が働いている物体(質量は...
両辺に速度の成分を掛ける
===========================
つぎに,運動方程式の両辺に速度の成分 $v$ を掛けます.
<tex>
mav = -kxv + mgv \tag{1}
</tex>
なぜそんなことをするかというと,こうすると都合がいいから...
両辺を微分の形で表す
========================
式(1)は
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \frac{d}{dt}\l...
</tex>
と微分の形で表すことができます.左辺は運動エネルギー,右...
加速度 $a$ と速度 $v$ はそれぞれ
<tex>
a = \frac{dv}{dt},\qquad v = \frac{dx}{dt}
</tex>
という関係にあります.加速度は速度の時間微分,速度は位置...
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)
= \frac{1}{2}m\frac{d}{dt}(v^2)
= \frac{1}{2}m\cdot 2v\frac{dv}{dt}
= mav \tag{3}
</tex>
となります.ここで1行目から2行目のところで合成関数の微分...
<tex>
\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2\right)
= -\frac{1}{2}k\frac{d}{dt}(x^2)
= -\frac{1}{2}k\cdot 2x\frac{dx}{dt}
= -kxv
</tex>
となり,式(2)の右辺第1項と同じになります.第2項は
<tex>
\frac{d}{dt}\left(mgx\right)
= mg\frac{dx}{dt}
= mgv
</tex>
となり,式(1)の右辺第2項と同じになります.
なんだか計算がごちゃごちゃしてしまいましたが,式(1)と式(2...
イコールゼロの形にする
=========================
式(2)の右辺を左辺に移項すると
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2-mgx\rig...
</tex>
という形になります.この式は何を意味しているでしょうか....
それらを全部足して,時間微分したものがゼロになっています...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2003-08-13@@
@@category: 力学@@
@@id: enaglaw-derive@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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力学的エネルギー保存則の導出
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力学的エネルギー保存則を運動方程式から導いてみましょう.
1. 運動方程式を立てる
2. 両辺に速度の成分を掛ける
3. 両辺を微分の形で表す
4. イコールゼロの形にする
という手順で導きます.
運動方程式を立てる
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まず,つぎのような運動方程式を考えます.
<tex>
ma = -kx + mg
</tex>
これは重力 $mg$ とばねの力 $-kx$ が働いている物体(質量は...
両辺に速度の成分を掛ける
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つぎに,運動方程式の両辺に速度の成分 $v$ を掛けます.
<tex>
mav = -kxv + mgv \tag{1}
</tex>
なぜそんなことをするかというと,こうすると都合がいいから...
両辺を微分の形で表す
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式(1)は
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \frac{d}{dt}\l...
</tex>
と微分の形で表すことができます.左辺は運動エネルギー,右...
加速度 $a$ と速度 $v$ はそれぞれ
<tex>
a = \frac{dv}{dt},\qquad v = \frac{dx}{dt}
</tex>
という関係にあります.加速度は速度の時間微分,速度は位置...
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)
= \frac{1}{2}m\frac{d}{dt}(v^2)
= \frac{1}{2}m\cdot 2v\frac{dv}{dt}
= mav \tag{3}
</tex>
となります.ここで1行目から2行目のところで合成関数の微分...
<tex>
\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2\right)
= -\frac{1}{2}k\frac{d}{dt}(x^2)
= -\frac{1}{2}k\cdot 2x\frac{dx}{dt}
= -kxv
</tex>
となり,式(2)の右辺第1項と同じになります.第2項は
<tex>
\frac{d}{dt}\left(mgx\right)
= mg\frac{dx}{dt}
= mgv
</tex>
となり,式(1)の右辺第2項と同じになります.
なんだか計算がごちゃごちゃしてしまいましたが,式(1)と式(2...
イコールゼロの形にする
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式(2)の右辺を左辺に移項すると
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2-mgx\rig...
</tex>
という形になります.この式は何を意味しているでしょうか....
それらを全部足して,時間微分したものがゼロになっています...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2003-08-13@@
@@category: 力学@@
@@id: enaglaw-derive@@
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