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立体角とガウスの発散定理
===============================================
まず、表題の話題に入る前に、弧度法による角度(ラジアン)...
.. figure:: Joh-Radian01.gif
図1
この考え方は、円はどんな大きさの円であっても相似である(...
.. [*] 順序としては、円周を直径で割った値を $\pi$ と定義...
古代のエジプト人やギリシャ人は、こんなことをとっくに知っ...
.. figure:: Joh-Radian02.gif
円弧は線分より長いので、 $1$ ラジアンは $60$ 度(正三角...
この定義、『半径=円弧となる角を $1$ ラジアンとする』を使...
<tex>
\theta = \frac{\pi}{180}x \tag{1}
</tex>
.. [*] 六十進法の起源は非常に古く、誰が最初に使い始めたの...
立体角
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
平面上で、円弧を睨む扇形の中心角を、円弧の長さを使って定...
.. image:: Joh-SolidAngle01.gif
逆に、ある曲面をある点から見たときの立体角を求めることも...
.. image:: Joh-SolidAngle02.gif
ただし、ここで考える曲面 $S$ は表と裏を区別できる曲面だと...
ガウスの発散定理と立体角
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
曲面 $S$ 上に、点 $M$ を中心とする微小面積 $\Delta S$ を...
.. image:: Joh-GaussSolidAngle077.gif
このとき、 $\Delta S$ を十分小さい面積だとして、ほぼ平ら...
<tex>
\Delta \Omega \sim \frac{\Delta S \cos \theta }{r^{2}} \t...
</tex>
式 $(2)$ で $\Delta \rightarrow 0$ なる極限を取り、 $S$ ...
<tex>
d \Omega &= \frac{d S \cos \theta }{r^{2}} \\
& = \frac{ (\bm{r}\cdot \bm{n})}{r^{3}}dS \tag{3}
</tex>
従って、曲面 $S$ 全体の立体角は式 $(3)$ を積分して得られ...
<tex>
\Omega = \int \int \limits _{S} \frac{d S (\bm{r}\cdot \b...
\tag{4}
</tex>
閉曲面の立体角
=========================================================...
次に、式 $(4)$ の積分領域 $S$ が、閉曲面である場合を考え...
<tex>
\nabla \frac{1}{r} = -\frac{\bm{r}}{r^{3}} \tag{5}
</tex>
<tex>
\triangle \frac{1}{r} = 0 \tag{6}
</tex>
極座標系での $\nabla$ の公式はまだ勉強していませんが、 `...
<tex>
\Omega & = \int \int \limits _{S} \frac{d S (\bm{r}\cdot ...
&= \int \int \limits _{S} \nabla \frac{1}{r} \cdot \bm{n}...
&= \int \int \int \limits _{V} \nabla^{2} \frac{1}{r} dV \\
&= 0 \tag{7}
</tex>
すなわち、 *閉曲面全体の立体角は、外部の点Oから測る場合、...
.. image:: Joh-SolidAngle04.gif
上図のように、一点 $O$ から閉曲面 $S$ の周囲にグルリ接線...
逆に、 $O$ が $V$ の内部にある場合は、少し工夫が必要です...
.. image:: Joh-SolidAngle05.gif
ここで $S$ と $S_{i}$ を境界とする領域(つまり $V$ から $...
<tex>
\int \int \limits _{S_{i}} \frac{d S (\bm{r}\cdot \bm{n})...
</tex>
一方、 $V''$ の $S_{i}$ 上での単位法線ベクトル $\bm{n}$ ...
<tex>
\Omega & = \int \int \limits _{S} \frac{d S (\bm{r}\cdot ...
&= - \int \int \limits _{S'} \frac{d S (\bm{r}\cdot \bm{...
&= - \int \int \limits _{S'} \frac{- \varepsilon }{r^{3}...
& = \frac{1}{\varepsilon^{2}} \int \int \limits _{S'} dS \\
& = \frac{1}{\varepsilon^{2}} 4 \pi \epsilon^2 \\
& = 4 \pi \tag{9}
</tex>
つまり、 *閉曲面Sの立体角Ωを内部から測った場合、曲面の形...
【閉曲面の立体角】
<tex>
\Omega = \int \int \limits _{S} \frac{\bm{r} \cdot \bm{n}...
0 \ \ \ (when \ the \ origin \ is \ outside \ S) &
\cr
4\pi \ \ \ (when \ the \ origin \ is \ inside \ S)
\end{cases}
</tex>
.. _`ベクトルの公式2`:
.. _`極座標系の△▽`:
.. _ガウスの発散定理:
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: GaussSolidAngle@@
終了行:
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立体角とガウスの発散定理
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まず、表題の話題に入る前に、弧度法による角度(ラジアン)...
.. figure:: Joh-Radian01.gif
図1
この考え方は、円はどんな大きさの円であっても相似である(...
.. [*] 順序としては、円周を直径で割った値を $\pi$ と定義...
古代のエジプト人やギリシャ人は、こんなことをとっくに知っ...
.. figure:: Joh-Radian02.gif
円弧は線分より長いので、 $1$ ラジアンは $60$ 度(正三角...
この定義、『半径=円弧となる角を $1$ ラジアンとする』を使...
<tex>
\theta = \frac{\pi}{180}x \tag{1}
</tex>
.. [*] 六十進法の起源は非常に古く、誰が最初に使い始めたの...
立体角
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平面上で、円弧を睨む扇形の中心角を、円弧の長さを使って定...
.. image:: Joh-SolidAngle01.gif
逆に、ある曲面をある点から見たときの立体角を求めることも...
.. image:: Joh-SolidAngle02.gif
ただし、ここで考える曲面 $S$ は表と裏を区別できる曲面だと...
ガウスの発散定理と立体角
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
曲面 $S$ 上に、点 $M$ を中心とする微小面積 $\Delta S$ を...
.. image:: Joh-GaussSolidAngle077.gif
このとき、 $\Delta S$ を十分小さい面積だとして、ほぼ平ら...
<tex>
\Delta \Omega \sim \frac{\Delta S \cos \theta }{r^{2}} \t...
</tex>
式 $(2)$ で $\Delta \rightarrow 0$ なる極限を取り、 $S$ ...
<tex>
d \Omega &= \frac{d S \cos \theta }{r^{2}} \\
& = \frac{ (\bm{r}\cdot \bm{n})}{r^{3}}dS \tag{3}
</tex>
従って、曲面 $S$ 全体の立体角は式 $(3)$ を積分して得られ...
<tex>
\Omega = \int \int \limits _{S} \frac{d S (\bm{r}\cdot \b...
\tag{4}
</tex>
閉曲面の立体角
=========================================================...
次に、式 $(4)$ の積分領域 $S$ が、閉曲面である場合を考え...
<tex>
\nabla \frac{1}{r} = -\frac{\bm{r}}{r^{3}} \tag{5}
</tex>
<tex>
\triangle \frac{1}{r} = 0 \tag{6}
</tex>
極座標系での $\nabla$ の公式はまだ勉強していませんが、 `...
<tex>
\Omega & = \int \int \limits _{S} \frac{d S (\bm{r}\cdot ...
&= \int \int \limits _{S} \nabla \frac{1}{r} \cdot \bm{n}...
&= \int \int \int \limits _{V} \nabla^{2} \frac{1}{r} dV \\
&= 0 \tag{7}
</tex>
すなわち、 *閉曲面全体の立体角は、外部の点Oから測る場合、...
.. image:: Joh-SolidAngle04.gif
上図のように、一点 $O$ から閉曲面 $S$ の周囲にグルリ接線...
逆に、 $O$ が $V$ の内部にある場合は、少し工夫が必要です...
.. image:: Joh-SolidAngle05.gif
ここで $S$ と $S_{i}$ を境界とする領域(つまり $V$ から $...
<tex>
\int \int \limits _{S_{i}} \frac{d S (\bm{r}\cdot \bm{n})...
</tex>
一方、 $V''$ の $S_{i}$ 上での単位法線ベクトル $\bm{n}$ ...
<tex>
\Omega & = \int \int \limits _{S} \frac{d S (\bm{r}\cdot ...
&= - \int \int \limits _{S'} \frac{d S (\bm{r}\cdot \bm{...
&= - \int \int \limits _{S'} \frac{- \varepsilon }{r^{3}...
& = \frac{1}{\varepsilon^{2}} \int \int \limits _{S'} dS \\
& = \frac{1}{\varepsilon^{2}} 4 \pi \epsilon^2 \\
& = 4 \pi \tag{9}
</tex>
つまり、 *閉曲面Sの立体角Ωを内部から測った場合、曲面の形...
【閉曲面の立体角】
<tex>
\Omega = \int \int \limits _{S} \frac{\bm{r} \cdot \bm{n}...
0 \ \ \ (when \ the \ origin \ is \ outside \ S) &
\cr
4\pi \ \ \ (when \ the \ origin \ is \ inside \ S)
\end{cases}
</tex>
.. _`ベクトルの公式2`:
.. _`極座標系の△▽`:
.. _ガウスの発散定理:
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: GaussSolidAngle@@
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