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#rst2hooktail_source
================================
有限回転群
================================
ある一点のまわりに図形を回転させる回転変換全体は群になり...
有限回転群の例
----------------------------------------
例として、図形をそれぞれ $0$ 度、 $72$ 度、 $144$ 度、 $2...
.. image:: Joh-FiniteOrderGroup2.gif
:align: center
さて、集合 $G_{5}=\{ S_{0}, S_{1}, S_{2}, S_{3} , S_{4} \...
1. 例えば演算 $S_{1}$ を2回行うと、 $S_{2}$ と同じ回転操...
2. 結合則がなりたちます。自分で確認してみましょう。
3. 単位元があります。( $S_{0}$ のことです。)
4. 例えば、反時計回りに $288$ 度回転することは、 $-72$ 度...
群の公理を4つとも満たしましたので、 $G_{5}$ は群です。
.. [*] 上で見た例が有限群となったのは、 $2\pi$ を整数(例...
.. [*] 複素数の積によってガウス平面上で図形が回転すること...
.. [*] 有限回転群は可換群でもあることを確認してみてくださ...
巡回置換との関係
--------------------------------------------------
上の例で、正五角形の頂点にそれぞれ $1,2,3,4,5$ と番号をつ...
<tex>
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 3 & 4 & 5 & 1\\
\end{array}
\Big)
</tex>
上に例で考えた群は、次のような置換操作を元とする群 $H_{5}...
<tex>
H_{5}= \Big\{ \Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\end{array}
\Big) \Big\}
</tex>
そこで、有限回転群と巡回群は群として同型だと言えるのです。
群表
-----------------------------------------------------------
先ほど、 $S_{1}$ を2回行うと、 $S_{2}$ と同じ回転操作に...
上の例の群表は次のようになります。
.. csv-table::
:header: "", "$\bm{S_{0}}$", "$\bm{S_{1}}$","$\bm{S_{2...
:stub-columns: 1
"$\bm{S_{0}}$", "$S_{0}$", "$S_{1}$","$S_{2}$","$S_{3}...
"$\bm{S_{1}}$", "$S_{1}$", "$S_{2}$","$S_{3}$","$S_{4}...
"$\bm{S_{2}}$", "$S_{2}$", "$S_{3}$","$S_{4}$","$S_{0}...
"$\bm{S_{3}}$", "$S_{3}$", "$S_{4}$","$S_{0}$","$S_{1}...
"$\bm{S_{4}}$", "$S_{4}$", "$S_{0}$","$S_{1}$","$S_{2}...
有限群の元の関係を調べるときに、群表はとても便利なもので...
.. [*] 有限可換群の群表は、左上から右下にかけての対角線に...
.. [*] 二つの有限群で群表が同じになれば、この二つの群の群...
元の冪乗、巡回群、生成元
----------------------------------------
一般に群の元 $a$ を、群で定義されている演算によって $n$ ...
上の例で $p=S_{1}$ と書くと、群 $G$ は $p$ の冪乗を使って...
<tex>
G_{5}=\{ p,p^{2},p^{3},p^{4},p^{5} \}
</tex>
もしくは、この有限回転群と対応させて触れた置換操作の群 $H...
<tex>
H_{5}=\{ p,p^{2},p^{3},p^{4},p^{5} \}
</tex>
ここで気が付くのは、群 $G$ も $H$ も、全ての元がたった一...
巡回群の全ての元の基本となる元を、その群の *生成元* と呼...
指数
-----------------------------------------
巡回群では、生成元が決まると、他の元は全て、生成元の冪乗...
<tex>
b=p^{m}
</tex>
ここで、 $p$ の指数 $m$ は、 $b$ に対して一つだけ決まりま...
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _対称群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Symmetri...
.. _準同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homo...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: FiniteRotationGroup@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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有限回転群
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ある一点のまわりに図形を回転させる回転変換全体は群になり...
有限回転群の例
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例として、図形をそれぞれ $0$ 度、 $72$ 度、 $144$ 度、 $2...
.. image:: Joh-FiniteOrderGroup2.gif
:align: center
さて、集合 $G_{5}=\{ S_{0}, S_{1}, S_{2}, S_{3} , S_{4} \...
1. 例えば演算 $S_{1}$ を2回行うと、 $S_{2}$ と同じ回転操...
2. 結合則がなりたちます。自分で確認してみましょう。
3. 単位元があります。( $S_{0}$ のことです。)
4. 例えば、反時計回りに $288$ 度回転することは、 $-72$ 度...
群の公理を4つとも満たしましたので、 $G_{5}$ は群です。
.. [*] 上で見た例が有限群となったのは、 $2\pi$ を整数(例...
.. [*] 複素数の積によってガウス平面上で図形が回転すること...
.. [*] 有限回転群は可換群でもあることを確認してみてくださ...
巡回置換との関係
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上の例で、正五角形の頂点にそれぞれ $1,2,3,4,5$ と番号をつ...
<tex>
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 3 & 4 & 5 & 1\\
\end{array}
\Big)
</tex>
上に例で考えた群は、次のような置換操作を元とする群 $H_{5}...
<tex>
H_{5}= \Big\{ \Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\end{array}
\Big) \Big\}
</tex>
そこで、有限回転群と巡回群は群として同型だと言えるのです。
群表
-----------------------------------------------------------
先ほど、 $S_{1}$ を2回行うと、 $S_{2}$ と同じ回転操作に...
上の例の群表は次のようになります。
.. csv-table::
:header: "", "$\bm{S_{0}}$", "$\bm{S_{1}}$","$\bm{S_{2...
:stub-columns: 1
"$\bm{S_{0}}$", "$S_{0}$", "$S_{1}$","$S_{2}$","$S_{3}...
"$\bm{S_{1}}$", "$S_{1}$", "$S_{2}$","$S_{3}$","$S_{4}...
"$\bm{S_{2}}$", "$S_{2}$", "$S_{3}$","$S_{4}$","$S_{0}...
"$\bm{S_{3}}$", "$S_{3}$", "$S_{4}$","$S_{0}$","$S_{1}...
"$\bm{S_{4}}$", "$S_{4}$", "$S_{0}$","$S_{1}$","$S_{2}...
有限群の元の関係を調べるときに、群表はとても便利なもので...
.. [*] 有限可換群の群表は、左上から右下にかけての対角線に...
.. [*] 二つの有限群で群表が同じになれば、この二つの群の群...
元の冪乗、巡回群、生成元
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一般に群の元 $a$ を、群で定義されている演算によって $n$ ...
上の例で $p=S_{1}$ と書くと、群 $G$ は $p$ の冪乗を使って...
<tex>
G_{5}=\{ p,p^{2},p^{3},p^{4},p^{5} \}
</tex>
もしくは、この有限回転群と対応させて触れた置換操作の群 $H...
<tex>
H_{5}=\{ p,p^{2},p^{3},p^{4},p^{5} \}
</tex>
ここで気が付くのは、群 $G$ も $H$ も、全ての元がたった一...
巡回群の全ての元の基本となる元を、その群の *生成元* と呼...
指数
-----------------------------------------
巡回群では、生成元が決まると、他の元は全て、生成元の冪乗...
<tex>
b=p^{m}
</tex>
ここで、 $p$ の指数 $m$ は、 $b$ に対して一つだけ決まりま...
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _対称群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Symmetri...
.. _準同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homo...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: FiniteRotationGroup@@
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