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変分法2
=====================================
変分法1_ では、関数 $f(x,y,y')$ によって決まる汎関数 $I[y...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y}-{d\over dx}\Bi...
</tex>
ここでは、オイラー方程式の、さらに発展的な形について勉強...
色々な関数形が出てきますが、その全てを理解する必要はあり...
色々な関数形
-----------------------------------------
汎関数 $I[y]$ を決める関数として、 変分法1_ では $f(x,y,y...
.. contents::
1.〜3.は、 $f$ が、特に簡単な関数形をしている場合です。4....
以下に、この7つのタイプの変分問題について、順番に変形オイ...
色々な変形オイラー方程式
---------------------------------------------------------...
1. $f=f(x,y')$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
これは関数 $f$ に $y$ が含まれていない簡単な形です。 $\fr...
<tex>
\frac{d}{dx}\Big( {\partial f\over \partial y'} \Big) = 0
</tex>
両辺を $x$ で積分して次のような形になります。これが1番目...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y'}
=\mathrm{const.} \tag{1}
</tex>
とても計算が簡単だったので、なにもわざわざ勿体ぶって公式...
2. $f=f(y,y')$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まず $f$ の全微分を考えます。
<tex>
df(y,y')={\partial f\over \partial y}dy+{\partial f\over ...
</tex>
少し式変形をして、次のような形にまとめます。
<tex>
{\partial f\over \partial y}y'={df \over dx}-{\partial f\...
</tex>
一方、オイラー方程式(0)の両辺に $y'$ を掛けたものを考えま...
<tex>
y' \Big({\partial f\over \partial y}-\frac{d}{dx}{\partia...
</tex>
式 (2)(3)を連立して ${\partial f\over \partial y}y'$ を消...
<tex>
f-y'\displaystyle {\partial f\over \partial y'}
=\mathrm{const.} \tag{4}
</tex>
この公式は1868年にベルトラミによって導かれたので、特にベ...
3. $f=f(x,y)$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
関数 $f$ に $y'$ が含まれていない場合です。 ${\partial f\...
<tex>
{\partial f\over \partial y}
=0 \tag{5}
</tex>
これは直ちに積分できて、 $f=\mathrm{const.}$ が言えるでし...
4. $f=f(x,y,y',z,z')$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
関数 $f$ が、 $y$ 以外にも変数を含む場合です。汎関数は次...
<tex>
\displaystyle I[y_{1},y_{2}]\equiv \int _{a}^{b}f(x,y,y',...
</tex>
ここで、 $y$ も $z$ も $x$ の関数であることに注意しましょ...
<tex>
y(x)=y_{0}(x)+\varepsilon \cdot \eta _{1}(x) \tag{7}
</tex>
<tex>
z(x)=z_{0}(x)+\varepsilon \cdot \eta _{2}(x) \tag{8}
</tex>
式(7)には $z$ が含まれていませんし、式(8)には $y$ が含ま...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y}
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)=0 \tag{9}
</tex>
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial z}
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial z'}
\Big)=0 \tag{10}
</tex>
変数がたくさんある場合には、変数の数だけオイラー方程式が...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y_{i}}
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y_{i}'}
\Big)=0 \ \ \ \ (i=1,...,n) \tag{11}
</tex>
5. $f=f(x,y,y',y'')$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
関数 $f$ が $y$ の二次導関数までを含む場合です。基本的に...
汎関数の形は式(12)のように書けることでしょう。また, $y$ ...
<tex>
\displaystyle I[y]\equiv \int _{a}^{b}f(x,y,y',y'')dx \ta...
</tex>
<tex>
y(x)=y_{0}(x)+\varepsilon \cdot \eta (x) \tag{13}
</tex>
式(12)で表される汎関数 $I$ に対し、 ${dI\over d\varepsilo...
<tex>
\displaystyle {dI\over d\varepsilon }
&=\int _{a}^{b}\Big({\partial f\over \partial y}
\cdot {\partial y\over \partial \varepsilon }
+{\partial f\over \partial y'}
\cdot {\partial y'\over \partial \varepsilon }
+{\partial f\over \partial y''}
\cdot {\partial y''\over \partial \varepsilon }
\Big)dx \\
&=\int _{a}^{b}\Big({\partial f\over \partial y}
\cdot \eta (x)+{\partial f\over \partial y'}
\cdot \eta '(x)+{\partial f\over \partial y''}
\cdot \eta ''(x)\Big)dx \tag{14}
</tex>
次に、式(14)の二行目の第三項を 部分積分_ します。
<tex>
{dI\over d\varepsilon }
&=\int _{a}^{b} \Big({\partial f\over \partial y}
\eta (x)+{\partial f\over \partial y'}
\eta '(x)+{\partial f\over \partial y''}
\eta ''(x)\Big)dx \\
&=\bigg[{\partial f\over \partial y''}
\eta '(x)\bigg]_{a}^{b}+\int _{a}^{b}\bigg({\partial f\ov...
\eta (x)
+{\partial f\over \partial y'}
\eta '(x)-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)\eta '(x)
\bigg) dx \\
&=0
</tex>
積分の中から $\eta ''(x)$ が外に出せました。もう一回頑張...
<tex>
&\bigg[{\partial f\over \partial y''}
\eta '(x)\bigg]_{a}^{b}+\int _{a}^{b}\bigg({\partial f\ov...
\eta (x)+{\partial f\over \partial y'}
\eta '(x)-{d\over dx}
\Big( {\partial f\over \partial y'}
\Big) \eta '(x)\bigg) dx \\
&=\bigg[ {\partial f\over \partial y''}
\eta '(x)+{\partial f\over \partial y'}
\eta (x)-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)\eta (x)\bigg]_{a}^{b}+\int _{a}^{b}\eta (x)\biggl\{...
-{d\over dx}
\big( {\partial f\over \partial y'}
\big) +{d^{2}\over dx^{2}}
\big( {\partial f\over \partial y'}
\Big) \biggl\} dx \\
&=0
</tex>
境界条件より、最初の括弧は全て零になります。 $\eta(x)$ は...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y}
-{d\over dx}
\bigg({\partial f\over \partial y'}
\bigg)+{d^{2}\over dx^{2}}
\bigg({\partial f\over \partial y''}
\bigg)=0 \tag{15}
</tex>
6. $f=f(x,y,y',...,y^{(n)})$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
5.の場合の拡張として、 $f$ が $y$ の $n$ 次導関数まで含む...
<tex>
\displaystyle &{\partial f\over \partial y}
-{d\over dx}
\bigg({\partial f\over \partial y'}
\bigg)+{d^{2}\over dx^{2}}
\bigg({\partial f\over \partial y''}
\bigg)-
{d^{3}\over dx^{3}}
\bigg({\partial f\over \partial y^{(3)}}
\bigg)+....... \\
&=\sum \limits _{n=0}^{k}(-1)^{n}{d^{n}\over dx^{n}}
\bigg({\partial f\over \partial y^{(n)}}
\bigg)=0 \tag{16}
</tex>
7. $f=f(x_{1},x_{2},u(x_{1},x_{2}),u_{x_{1}}(x_{1},x_{2},...
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
今まで見てきた関数では、 $y$ や $z$ は $x$ の関数でしたか...
<tex>
\displaystyle I\equiv \int _{a_{2}}^{b_{2}} \int _{a_{1}}...
</tex>
式中、 $u_{x_{1}}$ というのは、 $u$ の $x_{1}$ による偏微...
<tex>
u(x_{1},x_{2})=u_{0}(x_{1},x_{2})+\varepsilon \cdot \eta ...
</tex>
次に、 $\frac{dI}{d\varepsilon }$ を考えます。 $\eta$ の...
<tex>
\displaystyle {\partial I\over \partial \varepsilon}
=\int _{a_{2}}^{b_{2}} \limits \int _{a_{1}}^{b_{1}} \lim...
\eta +{\partial f\over \partial u_{x_{1}}}
\eta _{x_{1}}+{\partial f\over \partial u_{x_{2}}}
\eta _{x_{2}}\bigg)dx_{1} dx_{2}=0
</tex>
右辺の括弧内の、第二項、第三項をそれぞれ $x_{1}$ と $x_{2...
<tex>
\displaystyle
\Big[
\frac{\partial f}{\partial u_{x_{1}}}\frac{\partial^2 \et...
\Big]_{a_{1}}^{b_{1}}
+\Big[
\frac{\partial f}{\partial u_{x_{2}}}\frac{\partial^2 \et...
\Big]_{a_{2}}^{b_{2}}
+
\int _{a_{2}}^{b_{2}} \limits \int _{a_{1}}^{b_{1}} \limi...
-{d\over dx_{1}}
\bigg({\partial f\over \partial u_{x_{1}}}
\bigg)-{d\over dx_{2}}
\bigg({\partial f\over \partial u_{x_{2}}}
\bigg)\biggr\} \eta dx_{1}dx_{2}=0
</tex>
部分積分した前へ出した部分は、境界条件によって零になりま...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial u}
-{d\over dx_{1}}
\bigg({\partial f\over \partial u_{x_{1}}}
\bigg)-{d\over dx_{2}}
\bigg({\partial f\over \partial u_{x_{2}}}
\bigg)=0 \tag{17}
</tex>
オイラー方程式(0)と見比べてみて下さい。
例題
---------------------------------------------------------...
1.[直線距離]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
二点 $P(0,0)$ , $Q(a,b)$ を結ぶ最短経路を求めて下さい。
解答
この答えが直線であることは直感的に明らかですが、変分法を...
<tex>
l=\int _{P}^{Q} ds = \int _{P}^{Q} \sqrt{dx^2 + dy^2} = ...
</tex>
求めたいのは $l$ の最小値ですから、 $l$ を汎関数にとり、...
<tex>
\displaystyle I[y]\equiv \int _{0}^{a}f(x,y,y')dx=\int _{...
</tex>
この問題では $f=\sqrt {1+y'^{2}}$ となっていますね。これ...
<tex>
\displaystyle {y'\over \sqrt {1+y'^{2}}}
=\mathrm{const.}
</tex>
これを一回積分すれば、 $y'=C_{1}$ となります。もう一度積...
<tex>
y=C_{1}x+C_{2}
</tex>
積分定数 $C_{1}$ , $C_{2}$ は、この直線が二点 $P$ , $Q$ ...
2.[最速降下曲線]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
高さの異なる二点を坂道で結び、玉を転がすとき、玉が一番速...
この問題の解答は、 最速降下曲線_ をご覧下さい。
(ヒント:式(4)が使える問題です。)
3.[懸垂曲線]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
密度が一様な紐を吊り下げたとき、ポテンシャルエネルギーが...
解答
紐の微小部分が持つ位置エネルギーを全て合わせたものを、紐...
<tex>
\displaystyle U=mg\int _{P}^{Q}y\sqrt {1+y'^{2}}dx
</tex>
ここで $U$ の最小値を求めたいのですから、 $I=U$ として、...
<tex>
\displaystyle I=\int _{P}^{Q} fdx=mg\int _{P}^{Q}y\sqrt {...
</tex>
この問題では $f=y\sqrt {1+y'^{2}}$ となっていて、 $f$ が ...
<tex>
f-y'\displaystyle {\partial f\over \partial y'}
&=y\sqrt {1+y'^{2}}-y'{yy'\over \sqrt {1+y'^{2}}} \\
&={y\over \sqrt {1+y'^{2}}} \\
&=\mathrm{const.}
</tex>
これを積分して、次の答えを得ます。
<tex>
y=C_{1}\cosh C_{2}x
</tex>
これは双曲線関数(ハイパーボリックコサイン)と呼ばれる曲線...
.. [*] 余談ですが、西洋の大きな建築物は、たいてい石で出来...
石を削るのはなかなか大変なことですから、自然と、予め地...
上で積み上げるという方式が取られることになります。
設計図として簡単に書けるのは、定規とコンパスだけで作図...
古い西洋建築に見られる曲線というのは、大方、円弧なので...
ヨーロッパに旅行に行く機会があれば、どこの街にも古い教...
是非窓枠や屋根の曲線を眺めて見てください。ほとんど全て...
さて、たった今求めた双曲線関数ですが、これは $\cosh x =...
ちょっと定規とコンパスだけで作図するのは無理そうです。
西洋で双曲線関数を始めて建築に取り入れたのは、スペイン...
ところが、わが日本では、神社の屋根の微妙な反り返りなど...
日本では設計図を描いてから木を削るのではなく、大工さん...
自然と双曲線関数になってしまうのでした。こんど神社に行...
西洋で、ようやくここ100年そこそこになって使われ始めた曲...
日本では何百年も伝統的に使われているとは、なんだか嬉し...
.. image:: Joh-Shrine.jpg
.. _ここ: http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/peop...
.. _変分法1: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/vari...
.. _部分積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/int...
.. _最速降下曲線: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
@@author: Joh@@
@@accept: 2005-05-18@@
@@category: 物理数学@@
@@id:variations2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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変分法2
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変分法1_ では、関数 $f(x,y,y')$ によって決まる汎関数 $I[y...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y}-{d\over dx}\Bi...
</tex>
ここでは、オイラー方程式の、さらに発展的な形について勉強...
色々な関数形が出てきますが、その全てを理解する必要はあり...
色々な関数形
-----------------------------------------
汎関数 $I[y]$ を決める関数として、 変分法1_ では $f(x,y,y...
.. contents::
1.〜3.は、 $f$ が、特に簡単な関数形をしている場合です。4....
以下に、この7つのタイプの変分問題について、順番に変形オイ...
色々な変形オイラー方程式
---------------------------------------------------------...
1. $f=f(x,y')$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
これは関数 $f$ に $y$ が含まれていない簡単な形です。 $\fr...
<tex>
\frac{d}{dx}\Big( {\partial f\over \partial y'} \Big) = 0
</tex>
両辺を $x$ で積分して次のような形になります。これが1番目...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y'}
=\mathrm{const.} \tag{1}
</tex>
とても計算が簡単だったので、なにもわざわざ勿体ぶって公式...
2. $f=f(y,y')$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まず $f$ の全微分を考えます。
<tex>
df(y,y')={\partial f\over \partial y}dy+{\partial f\over ...
</tex>
少し式変形をして、次のような形にまとめます。
<tex>
{\partial f\over \partial y}y'={df \over dx}-{\partial f\...
</tex>
一方、オイラー方程式(0)の両辺に $y'$ を掛けたものを考えま...
<tex>
y' \Big({\partial f\over \partial y}-\frac{d}{dx}{\partia...
</tex>
式 (2)(3)を連立して ${\partial f\over \partial y}y'$ を消...
<tex>
f-y'\displaystyle {\partial f\over \partial y'}
=\mathrm{const.} \tag{4}
</tex>
この公式は1868年にベルトラミによって導かれたので、特にベ...
3. $f=f(x,y)$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
関数 $f$ に $y'$ が含まれていない場合です。 ${\partial f\...
<tex>
{\partial f\over \partial y}
=0 \tag{5}
</tex>
これは直ちに積分できて、 $f=\mathrm{const.}$ が言えるでし...
4. $f=f(x,y,y',z,z')$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
関数 $f$ が、 $y$ 以外にも変数を含む場合です。汎関数は次...
<tex>
\displaystyle I[y_{1},y_{2}]\equiv \int _{a}^{b}f(x,y,y',...
</tex>
ここで、 $y$ も $z$ も $x$ の関数であることに注意しましょ...
<tex>
y(x)=y_{0}(x)+\varepsilon \cdot \eta _{1}(x) \tag{7}
</tex>
<tex>
z(x)=z_{0}(x)+\varepsilon \cdot \eta _{2}(x) \tag{8}
</tex>
式(7)には $z$ が含まれていませんし、式(8)には $y$ が含ま...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y}
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)=0 \tag{9}
</tex>
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial z}
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial z'}
\Big)=0 \tag{10}
</tex>
変数がたくさんある場合には、変数の数だけオイラー方程式が...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y_{i}}
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y_{i}'}
\Big)=0 \ \ \ \ (i=1,...,n) \tag{11}
</tex>
5. $f=f(x,y,y',y'')$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
関数 $f$ が $y$ の二次導関数までを含む場合です。基本的に...
汎関数の形は式(12)のように書けることでしょう。また, $y$ ...
<tex>
\displaystyle I[y]\equiv \int _{a}^{b}f(x,y,y',y'')dx \ta...
</tex>
<tex>
y(x)=y_{0}(x)+\varepsilon \cdot \eta (x) \tag{13}
</tex>
式(12)で表される汎関数 $I$ に対し、 ${dI\over d\varepsilo...
<tex>
\displaystyle {dI\over d\varepsilon }
&=\int _{a}^{b}\Big({\partial f\over \partial y}
\cdot {\partial y\over \partial \varepsilon }
+{\partial f\over \partial y'}
\cdot {\partial y'\over \partial \varepsilon }
+{\partial f\over \partial y''}
\cdot {\partial y''\over \partial \varepsilon }
\Big)dx \\
&=\int _{a}^{b}\Big({\partial f\over \partial y}
\cdot \eta (x)+{\partial f\over \partial y'}
\cdot \eta '(x)+{\partial f\over \partial y''}
\cdot \eta ''(x)\Big)dx \tag{14}
</tex>
次に、式(14)の二行目の第三項を 部分積分_ します。
<tex>
{dI\over d\varepsilon }
&=\int _{a}^{b} \Big({\partial f\over \partial y}
\eta (x)+{\partial f\over \partial y'}
\eta '(x)+{\partial f\over \partial y''}
\eta ''(x)\Big)dx \\
&=\bigg[{\partial f\over \partial y''}
\eta '(x)\bigg]_{a}^{b}+\int _{a}^{b}\bigg({\partial f\ov...
\eta (x)
+{\partial f\over \partial y'}
\eta '(x)-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)\eta '(x)
\bigg) dx \\
&=0
</tex>
積分の中から $\eta ''(x)$ が外に出せました。もう一回頑張...
<tex>
&\bigg[{\partial f\over \partial y''}
\eta '(x)\bigg]_{a}^{b}+\int _{a}^{b}\bigg({\partial f\ov...
\eta (x)+{\partial f\over \partial y'}
\eta '(x)-{d\over dx}
\Big( {\partial f\over \partial y'}
\Big) \eta '(x)\bigg) dx \\
&=\bigg[ {\partial f\over \partial y''}
\eta '(x)+{\partial f\over \partial y'}
\eta (x)-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)\eta (x)\bigg]_{a}^{b}+\int _{a}^{b}\eta (x)\biggl\{...
-{d\over dx}
\big( {\partial f\over \partial y'}
\big) +{d^{2}\over dx^{2}}
\big( {\partial f\over \partial y'}
\Big) \biggl\} dx \\
&=0
</tex>
境界条件より、最初の括弧は全て零になります。 $\eta(x)$ は...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y}
-{d\over dx}
\bigg({\partial f\over \partial y'}
\bigg)+{d^{2}\over dx^{2}}
\bigg({\partial f\over \partial y''}
\bigg)=0 \tag{15}
</tex>
6. $f=f(x,y,y',...,y^{(n)})$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
5.の場合の拡張として、 $f$ が $y$ の $n$ 次導関数まで含む...
<tex>
\displaystyle &{\partial f\over \partial y}
-{d\over dx}
\bigg({\partial f\over \partial y'}
\bigg)+{d^{2}\over dx^{2}}
\bigg({\partial f\over \partial y''}
\bigg)-
{d^{3}\over dx^{3}}
\bigg({\partial f\over \partial y^{(3)}}
\bigg)+....... \\
&=\sum \limits _{n=0}^{k}(-1)^{n}{d^{n}\over dx^{n}}
\bigg({\partial f\over \partial y^{(n)}}
\bigg)=0 \tag{16}
</tex>
7. $f=f(x_{1},x_{2},u(x_{1},x_{2}),u_{x_{1}}(x_{1},x_{2},...
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
今まで見てきた関数では、 $y$ や $z$ は $x$ の関数でしたか...
<tex>
\displaystyle I\equiv \int _{a_{2}}^{b_{2}} \int _{a_{1}}...
</tex>
式中、 $u_{x_{1}}$ というのは、 $u$ の $x_{1}$ による偏微...
<tex>
u(x_{1},x_{2})=u_{0}(x_{1},x_{2})+\varepsilon \cdot \eta ...
</tex>
次に、 $\frac{dI}{d\varepsilon }$ を考えます。 $\eta$ の...
<tex>
\displaystyle {\partial I\over \partial \varepsilon}
=\int _{a_{2}}^{b_{2}} \limits \int _{a_{1}}^{b_{1}} \lim...
\eta +{\partial f\over \partial u_{x_{1}}}
\eta _{x_{1}}+{\partial f\over \partial u_{x_{2}}}
\eta _{x_{2}}\bigg)dx_{1} dx_{2}=0
</tex>
右辺の括弧内の、第二項、第三項をそれぞれ $x_{1}$ と $x_{2...
<tex>
\displaystyle
\Big[
\frac{\partial f}{\partial u_{x_{1}}}\frac{\partial^2 \et...
\Big]_{a_{1}}^{b_{1}}
+\Big[
\frac{\partial f}{\partial u_{x_{2}}}\frac{\partial^2 \et...
\Big]_{a_{2}}^{b_{2}}
+
\int _{a_{2}}^{b_{2}} \limits \int _{a_{1}}^{b_{1}} \limi...
-{d\over dx_{1}}
\bigg({\partial f\over \partial u_{x_{1}}}
\bigg)-{d\over dx_{2}}
\bigg({\partial f\over \partial u_{x_{2}}}
\bigg)\biggr\} \eta dx_{1}dx_{2}=0
</tex>
部分積分した前へ出した部分は、境界条件によって零になりま...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial u}
-{d\over dx_{1}}
\bigg({\partial f\over \partial u_{x_{1}}}
\bigg)-{d\over dx_{2}}
\bigg({\partial f\over \partial u_{x_{2}}}
\bigg)=0 \tag{17}
</tex>
オイラー方程式(0)と見比べてみて下さい。
例題
---------------------------------------------------------...
1.[直線距離]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
二点 $P(0,0)$ , $Q(a,b)$ を結ぶ最短経路を求めて下さい。
解答
この答えが直線であることは直感的に明らかですが、変分法を...
<tex>
l=\int _{P}^{Q} ds = \int _{P}^{Q} \sqrt{dx^2 + dy^2} = ...
</tex>
求めたいのは $l$ の最小値ですから、 $l$ を汎関数にとり、...
<tex>
\displaystyle I[y]\equiv \int _{0}^{a}f(x,y,y')dx=\int _{...
</tex>
この問題では $f=\sqrt {1+y'^{2}}$ となっていますね。これ...
<tex>
\displaystyle {y'\over \sqrt {1+y'^{2}}}
=\mathrm{const.}
</tex>
これを一回積分すれば、 $y'=C_{1}$ となります。もう一度積...
<tex>
y=C_{1}x+C_{2}
</tex>
積分定数 $C_{1}$ , $C_{2}$ は、この直線が二点 $P$ , $Q$ ...
2.[最速降下曲線]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
高さの異なる二点を坂道で結び、玉を転がすとき、玉が一番速...
この問題の解答は、 最速降下曲線_ をご覧下さい。
(ヒント:式(4)が使える問題です。)
3.[懸垂曲線]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
密度が一様な紐を吊り下げたとき、ポテンシャルエネルギーが...
解答
紐の微小部分が持つ位置エネルギーを全て合わせたものを、紐...
<tex>
\displaystyle U=mg\int _{P}^{Q}y\sqrt {1+y'^{2}}dx
</tex>
ここで $U$ の最小値を求めたいのですから、 $I=U$ として、...
<tex>
\displaystyle I=\int _{P}^{Q} fdx=mg\int _{P}^{Q}y\sqrt {...
</tex>
この問題では $f=y\sqrt {1+y'^{2}}$ となっていて、 $f$ が ...
<tex>
f-y'\displaystyle {\partial f\over \partial y'}
&=y\sqrt {1+y'^{2}}-y'{yy'\over \sqrt {1+y'^{2}}} \\
&={y\over \sqrt {1+y'^{2}}} \\
&=\mathrm{const.}
</tex>
これを積分して、次の答えを得ます。
<tex>
y=C_{1}\cosh C_{2}x
</tex>
これは双曲線関数(ハイパーボリックコサイン)と呼ばれる曲線...
.. [*] 余談ですが、西洋の大きな建築物は、たいてい石で出来...
石を削るのはなかなか大変なことですから、自然と、予め地...
上で積み上げるという方式が取られることになります。
設計図として簡単に書けるのは、定規とコンパスだけで作図...
古い西洋建築に見られる曲線というのは、大方、円弧なので...
ヨーロッパに旅行に行く機会があれば、どこの街にも古い教...
是非窓枠や屋根の曲線を眺めて見てください。ほとんど全て...
さて、たった今求めた双曲線関数ですが、これは $\cosh x =...
ちょっと定規とコンパスだけで作図するのは無理そうです。
西洋で双曲線関数を始めて建築に取り入れたのは、スペイン...
ところが、わが日本では、神社の屋根の微妙な反り返りなど...
日本では設計図を描いてから木を削るのではなく、大工さん...
自然と双曲線関数になってしまうのでした。こんど神社に行...
西洋で、ようやくここ100年そこそこになって使われ始めた曲...
日本では何百年も伝統的に使われているとは、なんだか嬉し...
.. image:: Joh-Shrine.jpg
.. _ここ: http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/peop...
.. _変分法1: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/vari...
.. _部分積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/int...
.. _最速降下曲線: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
@@author: Joh@@
@@accept: 2005-05-18@@
@@category: 物理数学@@
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