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変分法1
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変分法という数学の分野があります。これは他の数学の分野と...
この記事は、変分法入門という位置づけですので、読者の方々...
微分法に関する初等的な知識があると、読みやすいと思います。
変分法って何だろう?
---------------------------------------------------------...
関数 $f=f(x)$ の最大・最小問題を考えるとき、一つの方法は...
.. image:: Joh-Var1.gif
これと大変似たような問題なのですが、何か関数 $y=y(x)$ の ...
.. image:: Joh-Var2.gif
なんだか、微分と変分って、すごく似てると思いませんでした...
.. csv-table:: 比較の表
:header: "", "微分", "変分"
"扱う問題","極値問題","極値問題"
"何の極値?", "関数", "汎関数"
"変化するもの", "変数", "関数形そのもの"
"極値では・・・","微分が零になる","変分が零になる"
いわば、変分法は『関数による関数の微分』というようなもの...
変分問題の解き方概論
---------------------------------------------------------...
前のセクションで、変分法は微分法に大変似ているということ...
.. image:: Joh-Var3.gif
上の図は、微分法の計算をするときのイメージを絵にしてみた...
.. image:: Joh-Var4.gif
今度は、変分問題のイメージです。変化したのは、変数ではな...
もっとも、この記事で私達が考える変分法は、汎関数が $I[y]\...
.. [*] 微分が『微小部分の変化率』を意味したのに対し、積分...
変分問題を解くには次の二つの方法があります。
1. オイラー方程式を解く。
2. 直接法で解く。
汎関数が $I[y]\equiv \int _{a}^{b}f(x,y,y')dx$ のように、...
.. [*] 慣れてしまえば何でもないのですが、最初、汎関数が積...
オイラー方程式を使う方法は非常に強力なので、変分法の解法...
オイラー方程式を求める
---------------------------------------------------------...
ここからは数学的に考えます。 $y=y(x)$ という関数があり、...
この $f$ の積分によって汎関数 $I$ が次のように積分の形で...
<tex>
\displaystyle I[y]\equiv \int _{a}^{b}f(x,y,y')dx \tag{1}
</tex>
この $I$ が停留値をもつ(極大か極小か変曲点である)ように関...
関数 $y(x)$ が最初 $y_{0}(x)$ という関数だったとし、これ...
<tex>
y(x)=y_{0}(x)+\varepsilon \cdot \eta (x) \tag{2}
</tex>
<tex>
\eta (a)=\eta (b)=0 \tag{3}
</tex>
.. image:: Joh-Var15.gif
ここで導入した $\varepsilon$ は、『関数形を変形させる変数...
したがって、 $y$ が停留値を与えるという条件は、次が成り立...
<tex>
\displaystyle {dI[y]\over d\varepsilon }
\Big\arrowvert _{\varepsilon =0}=0 \tag{4}
</tex>
そこで、式(1)から、汎関数を微分してみます。一気に4行ほど...
<tex>
\displaystyle {dI\over d\varepsilon }
&={d \over d\varepsilon} \int _{a}^{b}
f(x,y,y')dx \\
&=\int _{a}^{b}\Big({\partial f\over \partial y}
\cdot {\partial y\over \partial \varepsilon }
+{\partial f\over \partial y'}
\cdot {\partial y'\over \partial \varepsilon }
\Big)dx \\
&=\int _{a}^{b}\Big({\partial f\over \partial y}
\eta (x)+{\partial f\over \partial y'}
\eta '(x)\Big)dx \\
&=\bigg[{\partial f\over \partial y'}
\eta (x)\bigg]_{a}^{b}+\int _{a}^{b}\eta (x)\biggl\{ {\pa...
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)\biggr\} dx \tag{5}
</tex>
一行目から二行目では、微分のチェーンルールを使いました。...
さて、部分積分して前に出した項は、 $\eta (x)$ の境界条件...
<tex>
\displaystyle {dI\over d\varepsilon }
=\int _{a}^{b}\eta (x)\biggl\{ {\partial f\over \partial ...
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)\biggr\} dx \tag{6}
</tex>
ここで $\eta (x)$ は任意の関数だということでしたから、右...
<tex>
\displaystyle {dI\over d\varepsilon } \Longleftrightarrow...
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)=0 \tag{7}
</tex>
これを *オイラー方程式* と呼びます。
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y}
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)=0 \tag{8}
</tex>
.. [*] 任意の関数 $\eta (x)$ と言っておきながら、なんだか...
部分積分が出てきたりして少し面倒だったかも知れませんが、...
.. _部分積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/int...
.. _変分法2: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/brac...
.. _最速降下曲線: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
@@author: Joh@@
@@accept: 2005-08-01@@
@@category: 物理数学@@
@@id:variations1@@
終了行:
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変分法1
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変分法という数学の分野があります。これは他の数学の分野と...
この記事は、変分法入門という位置づけですので、読者の方々...
微分法に関する初等的な知識があると、読みやすいと思います。
変分法って何だろう?
---------------------------------------------------------...
関数 $f=f(x)$ の最大・最小問題を考えるとき、一つの方法は...
.. image:: Joh-Var1.gif
これと大変似たような問題なのですが、何か関数 $y=y(x)$ の ...
.. image:: Joh-Var2.gif
なんだか、微分と変分って、すごく似てると思いませんでした...
.. csv-table:: 比較の表
:header: "", "微分", "変分"
"扱う問題","極値問題","極値問題"
"何の極値?", "関数", "汎関数"
"変化するもの", "変数", "関数形そのもの"
"極値では・・・","微分が零になる","変分が零になる"
いわば、変分法は『関数による関数の微分』というようなもの...
変分問題の解き方概論
---------------------------------------------------------...
前のセクションで、変分法は微分法に大変似ているということ...
.. image:: Joh-Var3.gif
上の図は、微分法の計算をするときのイメージを絵にしてみた...
.. image:: Joh-Var4.gif
今度は、変分問題のイメージです。変化したのは、変数ではな...
もっとも、この記事で私達が考える変分法は、汎関数が $I[y]\...
.. [*] 微分が『微小部分の変化率』を意味したのに対し、積分...
変分問題を解くには次の二つの方法があります。
1. オイラー方程式を解く。
2. 直接法で解く。
汎関数が $I[y]\equiv \int _{a}^{b}f(x,y,y')dx$ のように、...
.. [*] 慣れてしまえば何でもないのですが、最初、汎関数が積...
オイラー方程式を使う方法は非常に強力なので、変分法の解法...
オイラー方程式を求める
---------------------------------------------------------...
ここからは数学的に考えます。 $y=y(x)$ という関数があり、...
この $f$ の積分によって汎関数 $I$ が次のように積分の形で...
<tex>
\displaystyle I[y]\equiv \int _{a}^{b}f(x,y,y')dx \tag{1}
</tex>
この $I$ が停留値をもつ(極大か極小か変曲点である)ように関...
関数 $y(x)$ が最初 $y_{0}(x)$ という関数だったとし、これ...
<tex>
y(x)=y_{0}(x)+\varepsilon \cdot \eta (x) \tag{2}
</tex>
<tex>
\eta (a)=\eta (b)=0 \tag{3}
</tex>
.. image:: Joh-Var15.gif
ここで導入した $\varepsilon$ は、『関数形を変形させる変数...
したがって、 $y$ が停留値を与えるという条件は、次が成り立...
<tex>
\displaystyle {dI[y]\over d\varepsilon }
\Big\arrowvert _{\varepsilon =0}=0 \tag{4}
</tex>
そこで、式(1)から、汎関数を微分してみます。一気に4行ほど...
<tex>
\displaystyle {dI\over d\varepsilon }
&={d \over d\varepsilon} \int _{a}^{b}
f(x,y,y')dx \\
&=\int _{a}^{b}\Big({\partial f\over \partial y}
\cdot {\partial y\over \partial \varepsilon }
+{\partial f\over \partial y'}
\cdot {\partial y'\over \partial \varepsilon }
\Big)dx \\
&=\int _{a}^{b}\Big({\partial f\over \partial y}
\eta (x)+{\partial f\over \partial y'}
\eta '(x)\Big)dx \\
&=\bigg[{\partial f\over \partial y'}
\eta (x)\bigg]_{a}^{b}+\int _{a}^{b}\eta (x)\biggl\{ {\pa...
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)\biggr\} dx \tag{5}
</tex>
一行目から二行目では、微分のチェーンルールを使いました。...
さて、部分積分して前に出した項は、 $\eta (x)$ の境界条件...
<tex>
\displaystyle {dI\over d\varepsilon }
=\int _{a}^{b}\eta (x)\biggl\{ {\partial f\over \partial ...
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)\biggr\} dx \tag{6}
</tex>
ここで $\eta (x)$ は任意の関数だということでしたから、右...
<tex>
\displaystyle {dI\over d\varepsilon } \Longleftrightarrow...
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)=0 \tag{7}
</tex>
これを *オイラー方程式* と呼びます。
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y}
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)=0 \tag{8}
</tex>
.. [*] 任意の関数 $\eta (x)$ と言っておきながら、なんだか...
部分積分が出てきたりして少し面倒だったかも知れませんが、...
.. _部分積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/int...
.. _変分法2: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/brac...
.. _最速降下曲線: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
@@author: Joh@@
@@accept: 2005-08-01@@
@@category: 物理数学@@
@@id:variations1@@
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