記事ソース/平行移動、回転、時間発展とポアソン括弧
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
平行移動、回転、時間発展とポアソン括弧
=========================================================...
ハミルトニアンは時間発展、運動量は平行移動、角運動量は回...
僕が知っていたのは、ネーターの定理あたりの話からだったの...
ポアソン括弧を使ってもっと直接的関係が得られることに気づ...
量子力学では有名な話です。ただ、私はその古典力学での対応...
この記事は証明と言うよりは、検証・確認です。
ポアソン括弧
==============================
ポアソン括弧とは、運動量 $p$ 、位置 $q$ 、時間 $t$ と正準...
<tex>
[A,B] = \dfrac{\partial A}{\partial q}\dfrac{\partial B}{...
</tex>
と言う計算の事です。
時間発展とハミルトニアン
==============================
これは有名だと思います。関数 $F(q,p,t)$ の時間発展は、ハ...
<tex>
\dfrac{d}{dt}F(q,p,t) = [F,H] + \dfrac{\partial F}{\parti...
</tex>
という方程式になります。特に $F$ が時間を陽に含まない時、
<tex>
\dfrac{d}{dt}F(q,p) = [F,H] \tag{##}
</tex>
となります。試しに
<tex>
F=q,H=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{kq^2}{2} \tag{##}
</tex>
として式を計算すると、
<tex>
\dfrac{dq}{dt} &= [q,\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{kq^2}{2}] \\
&= \dfrac{\partial q}{\partial q}\dfrac{\partial \left( \...
&= p/m
\tag{##}
</tex>
となり、確かに正しい運動方程式です。 $H=\dfrac{p^2}{2m}+\...
<tex>
\dfrac{dq}{dt} &= \dfrac{\partial H}{\partial p} \\
&= p/m
</tex>
と等価です。
平行移動と運動量
=================================
式 $(3)$ に対応させて以下の式を考えてみました。
<tex>
\dfrac{d}{dq}F(q,p) = [F(q,p),p] \tag{##}
</tex>
右辺を計算すると、
<tex>
[F(q,p),p] = \dfrac{\partial F}{\partial q}\dfrac{\partia...
\tag{##}
</tex>
特に $\dfrac{k}{2}q^2$ としてみると、左辺が、
<tex>
\dfrac{d}{dq} \left( \dfrac{k}{2}q^2 \right) = kq \tag{##}
</tex>
であり、右辺が
<tex>
[\dfrac{k}{2}q^2,p] &= \dfrac{\partial \left( \dfrac{k}{2...
&= kq
</tex>
となり、一致していますね。
回転と角運動量
=============================
最後に二次元平面での回転を見ましょう。
<tex>
\bm{L} = \bm{q} \times \bm{p} \tag{##}
</tex>
ですから、二次元に制限すると、 $L_3=q_1p_2-q_2p_1$ を考え...
<tex>
\dfrac{d}{d \theta}F(q_1,q_2,p_1,p_2) &= \sum_{i} [F,L_3]...
&= \sum_{i} \left( \dfrac{\partial F}{\partial q_i}\dfrac...
\tag{##}
</tex>
です。 $\theta$ は回転角です。例えば、
<tex>
[F(q_1,q_2,p_1,p_2),L_3] &= \dfrac{\partial F}{\partial q...
&= \dfrac{\partial F}{\partial q_1} \cdot (-q_2) - \dfrac...
\tag{##}
</tex>
となります。ここで、 $F=q_1 \mathrm{or} F=q_2$ とすると、
<tex>
\dfrac{d q_1}{d \theta} &= [q_1,L_3] = -q_2 \\
\dfrac{d q_2}{d \theta} &= [q_2,L_3] = q_1 \tag{##}
</tex>
はて、これはどうしたらいいでしょう?
行列を使って書き直してみましょう。
<tex>
\dfrac{d}{d \theta} \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatr...
</tex>
となり、行列の指数関数を使えば良さそうです。 $J = \begin{...
解くと、
<tex>
\begin{pmatrix} q_1(\theta) \\ q_2(\theta) \end{pmatrix} ...
&= \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \t...
\tag{##}
</tex>
となりました。これは正に(能動的)回転の行列ですね。
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-04-01@@
@@category:解析力学@@
@@id:poissonAndOperators@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
平行移動、回転、時間発展とポアソン括弧
=========================================================...
ハミルトニアンは時間発展、運動量は平行移動、角運動量は回...
僕が知っていたのは、ネーターの定理あたりの話からだったの...
ポアソン括弧を使ってもっと直接的関係が得られることに気づ...
量子力学では有名な話です。ただ、私はその古典力学での対応...
この記事は証明と言うよりは、検証・確認です。
ポアソン括弧
==============================
ポアソン括弧とは、運動量 $p$ 、位置 $q$ 、時間 $t$ と正準...
<tex>
[A,B] = \dfrac{\partial A}{\partial q}\dfrac{\partial B}{...
</tex>
と言う計算の事です。
時間発展とハミルトニアン
==============================
これは有名だと思います。関数 $F(q,p,t)$ の時間発展は、ハ...
<tex>
\dfrac{d}{dt}F(q,p,t) = [F,H] + \dfrac{\partial F}{\parti...
</tex>
という方程式になります。特に $F$ が時間を陽に含まない時、
<tex>
\dfrac{d}{dt}F(q,p) = [F,H] \tag{##}
</tex>
となります。試しに
<tex>
F=q,H=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{kq^2}{2} \tag{##}
</tex>
として式を計算すると、
<tex>
\dfrac{dq}{dt} &= [q,\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{kq^2}{2}] \\
&= \dfrac{\partial q}{\partial q}\dfrac{\partial \left( \...
&= p/m
\tag{##}
</tex>
となり、確かに正しい運動方程式です。 $H=\dfrac{p^2}{2m}+\...
<tex>
\dfrac{dq}{dt} &= \dfrac{\partial H}{\partial p} \\
&= p/m
</tex>
と等価です。
平行移動と運動量
=================================
式 $(3)$ に対応させて以下の式を考えてみました。
<tex>
\dfrac{d}{dq}F(q,p) = [F(q,p),p] \tag{##}
</tex>
右辺を計算すると、
<tex>
[F(q,p),p] = \dfrac{\partial F}{\partial q}\dfrac{\partia...
\tag{##}
</tex>
特に $\dfrac{k}{2}q^2$ としてみると、左辺が、
<tex>
\dfrac{d}{dq} \left( \dfrac{k}{2}q^2 \right) = kq \tag{##}
</tex>
であり、右辺が
<tex>
[\dfrac{k}{2}q^2,p] &= \dfrac{\partial \left( \dfrac{k}{2...
&= kq
</tex>
となり、一致していますね。
回転と角運動量
=============================
最後に二次元平面での回転を見ましょう。
<tex>
\bm{L} = \bm{q} \times \bm{p} \tag{##}
</tex>
ですから、二次元に制限すると、 $L_3=q_1p_2-q_2p_1$ を考え...
<tex>
\dfrac{d}{d \theta}F(q_1,q_2,p_1,p_2) &= \sum_{i} [F,L_3]...
&= \sum_{i} \left( \dfrac{\partial F}{\partial q_i}\dfrac...
\tag{##}
</tex>
です。 $\theta$ は回転角です。例えば、
<tex>
[F(q_1,q_2,p_1,p_2),L_3] &= \dfrac{\partial F}{\partial q...
&= \dfrac{\partial F}{\partial q_1} \cdot (-q_2) - \dfrac...
\tag{##}
</tex>
となります。ここで、 $F=q_1 \mathrm{or} F=q_2$ とすると、
<tex>
\dfrac{d q_1}{d \theta} &= [q_1,L_3] = -q_2 \\
\dfrac{d q_2}{d \theta} &= [q_2,L_3] = q_1 \tag{##}
</tex>
はて、これはどうしたらいいでしょう?
行列を使って書き直してみましょう。
<tex>
\dfrac{d}{d \theta} \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatr...
</tex>
となり、行列の指数関数を使えば良さそうです。 $J = \begin{...
解くと、
<tex>
\begin{pmatrix} q_1(\theta) \\ q_2(\theta) \end{pmatrix} ...
&= \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \t...
\tag{##}
</tex>
となりました。これは正に(能動的)回転の行列ですね。
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-04-01@@
@@category:解析力学@@
@@id:poissonAndOperators@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.003 sec.