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#rst2hooktail_source
=============
部分積分
=============
積分公式を一番よく覚えているのは大学入試直前ではないでし...
大学生以上になると授業での演習量が減るのでどんどん忘れて...
授業の最後にたまに演習問題があることがあるんですが,
部分積分がさっぱり分からなくなっていて問題が解けなかった...
部分積分の公式
-----------------
つぎの積分公式
<tex>
\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx
</tex>
を部分積分といいます.2つの関数のかけ算になっている被積分...
だけを部分的に積分するので部分積分といいます.定積分の場...
<tex>
\int_a^b f'(x)g(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b...
</tex>
となります.それぞれの公式の証明は教科書に書いてあると思...
これだけではよく分からないので例題をみて行きましょう.
例題1. (e^x)x の積分
----------------------
つぎの積分を実行せよ.
<tex>
\int e^xx\,dx
</tex>
解
^^^^^^^^^^^
被積分関数がかけ算になっています.
<tex>
\int e^x\,dx=e^x ,\quad \int x\,dx=\frac{1}{2}x^2
</tex>
ということは簡単に分かりますから, $e^x$ と $x$ が別々な...
しかしそれらの掛け算だとどうしていいか分かりません.
こういうときに部分積分を思い出します.
<tex>
\int e^xx\,dx=\int (e^x)'x\,dx
</tex>
ですから,部分積分の公式を使うと
<tex>
\int e^xx\,dx
&= \int (e^x)'x\,dx\\
&= e^xx-\int e^x(x)'\,dx\\
&= e^xx-\int e^x\,dx\\
&= e^xx-e^x+C
</tex>
という具合に積分が実行できます.補足ですが,逆に
<tex>
\int e^xx\,dx
&= \int e^x\left(\frac{1}{2}x^2\right)'\,dx\\
&= e^x\frac{1}{2}x^2 - \int (e^x)'\frac{1}{2}x^2\,dx\\
&= e^x\frac{1}{2}x^2 - \int e^x\frac{1}{2}x^2\,dx\\
&= \cdots
</tex>
としてしまうといつまでたっても計算が終わりません.
2つの関数のうちどちらを $(f(x))'$ の形にすればいいかは,
何度か部分積分の問題を解いていったら自然に分かると思いま...
.. [*] もちろん,掛け算の形になっているからといって,
いつでも部分積分が通用するわけではありません.
だから積分って難しいんですよね….
例題2. x sin x の積分
-------------------------
つぎの積分を実行せよ.
<tex>
\int x\sin x\,dx
</tex>
解
^^^^^^^^^^^^^^
微分して $\sin x$ になるのは $-\cos x$ ですから,
<tex>
\int x\sin x\,dx=\int x(-\cos x)'\,dx
</tex>
として部分積分すればいいです.
<tex>
\int x\sin x\,dx
&= \int x(-\cos x)'\,dx\\
&= x(-\cos x)-\int (x)'(-\cos x)\,dx\\
&= -x\cos x+\int \cos x\,dx\\
&= -x\cos x+\sin x+C
</tex>
例題3. log x の積分
-----------------------
つぎの積分を実行せよ.
<tex>
\int \log x\,dx
</tex>
解
^^^^^^^^^^^^
これは被積分関数が掛け算になっていません.一見簡単そうに...
$\log x$ の積分公式はないのですぐには解けません.そこで部...
<tex>
\int \log x\,dx = \int 1\cdot\log x\,dx
</tex>
というふうに無理矢理掛け算にしておきます. $x$ で微分して...
部分積分の公式からつぎのように積分計算ができます.
<tex>
\int \log x\,dx
&= \int (x)'\cdot\log x\,dx\\
&= x\log x-\int x(\log x)'\,dx\\
&= x\log x-\int x\frac{1}{x}\,dx\\
&= x\log x-\int 1\,dx\\
&= x\log x-x+C
</tex>
例題4. 少し複雑な積分
-------------------------
1種類の単原子分子からなる気体のマクスウェルの速度分布関数...
<tex>
f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2\exp\le...
</tex>
この気体分子の速度の平均値 $<x>$ は,速度に上式を掛け,
$v$ 空間で積分することで求められる. $<x>$ を計算せよ.
解
^^^^^^^^^^
この問題が例の,崎間が授業中解けなかったってやつです(他...
<tex>
<x> &= \int_0^{\infty}4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right...
&= 4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2} \int_0^...
</tex>
となります.このままではやりにくいので $v^2=x$ と置いて積...
<tex>
\frac{d}{dv}v^2=\frac{dx}{dv} \to dv=\frac{1}{2v}dx
</tex>
より
<tex>
\int_0^{\infty}v^3\exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)\,dv
&= \int_0^{\infty}v^3\exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right...
&= \frac{1}{2}\int_0^{\infty}v^2\exp\left(-\frac{mv^2}{2...
&= \frac{1}{2}\int_0^{\infty}x\exp\left(-\frac{mx}{2k_BT...
</tex>
です.ここで部分積分を行います,ってうわーなんだこれは....
<tex>
\frac{1}{2}\int_0^{\infty}&x\exp\left(-\frac{mx}{2k_BT}\r...
&= \frac{1}{2}\int_0^{\infty}x\left(-\frac{2k_BT}{m} \ex...
&= \frac{1}{2}\left[x\left(-\frac{2k_BT}{m}\exp\left(-\f...
-\frac{1}{2}\int_0^{\infty}(x)'\left(-\frac{2k_BT}{m}\...
&= -\frac{k_BT}{m}\left[x\exp\left(-\frac{mx}{2k_BT}\rig...
&= 0+\frac{k_BT}{m}\left[-\frac{2k_BT}{m} \exp\left(-\fr...
&= -\frac{2{k_B}^2T^2}{m^2}(0-1)\\
&= \frac{2{k_B}^2T^2}{m^2}
</tex>
なんとかスッキリしました. $exp(-\infty)=0$ になるのはい...
これでやっと,求めるべき平均速度 $<x>$ が
<tex>
<x> &= 4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}\frac{2{...
&= 4\pi\frac{m}{2\pi k_BT}\sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}\...
&= \frac{4k_BT}{m}\sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}\\
&= \sqrt{\frac{4^2{k_B}^2T^2}{m^2}\frac{m}{2\pi k_BT}...
&= \sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}
</tex>
と求まります.やたらと繁雑でしたが,計算間違いをしないよ...
(この記事を書くとき僕は何回も計算を間違えてました).
@@author:崎間@@
@@accept:2004-05-26@@
@@category:物理数学@@
@@id:integrationByParts@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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部分積分
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積分公式を一番よく覚えているのは大学入試直前ではないでし...
大学生以上になると授業での演習量が減るのでどんどん忘れて...
授業の最後にたまに演習問題があることがあるんですが,
部分積分がさっぱり分からなくなっていて問題が解けなかった...
部分積分の公式
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つぎの積分公式
<tex>
\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx
</tex>
を部分積分といいます.2つの関数のかけ算になっている被積分...
だけを部分的に積分するので部分積分といいます.定積分の場...
<tex>
\int_a^b f'(x)g(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b...
</tex>
となります.それぞれの公式の証明は教科書に書いてあると思...
これだけではよく分からないので例題をみて行きましょう.
例題1. (e^x)x の積分
----------------------
つぎの積分を実行せよ.
<tex>
\int e^xx\,dx
</tex>
解
^^^^^^^^^^^
被積分関数がかけ算になっています.
<tex>
\int e^x\,dx=e^x ,\quad \int x\,dx=\frac{1}{2}x^2
</tex>
ということは簡単に分かりますから, $e^x$ と $x$ が別々な...
しかしそれらの掛け算だとどうしていいか分かりません.
こういうときに部分積分を思い出します.
<tex>
\int e^xx\,dx=\int (e^x)'x\,dx
</tex>
ですから,部分積分の公式を使うと
<tex>
\int e^xx\,dx
&= \int (e^x)'x\,dx\\
&= e^xx-\int e^x(x)'\,dx\\
&= e^xx-\int e^x\,dx\\
&= e^xx-e^x+C
</tex>
という具合に積分が実行できます.補足ですが,逆に
<tex>
\int e^xx\,dx
&= \int e^x\left(\frac{1}{2}x^2\right)'\,dx\\
&= e^x\frac{1}{2}x^2 - \int (e^x)'\frac{1}{2}x^2\,dx\\
&= e^x\frac{1}{2}x^2 - \int e^x\frac{1}{2}x^2\,dx\\
&= \cdots
</tex>
としてしまうといつまでたっても計算が終わりません.
2つの関数のうちどちらを $(f(x))'$ の形にすればいいかは,
何度か部分積分の問題を解いていったら自然に分かると思いま...
.. [*] もちろん,掛け算の形になっているからといって,
いつでも部分積分が通用するわけではありません.
だから積分って難しいんですよね….
例題2. x sin x の積分
-------------------------
つぎの積分を実行せよ.
<tex>
\int x\sin x\,dx
</tex>
解
^^^^^^^^^^^^^^
微分して $\sin x$ になるのは $-\cos x$ ですから,
<tex>
\int x\sin x\,dx=\int x(-\cos x)'\,dx
</tex>
として部分積分すればいいです.
<tex>
\int x\sin x\,dx
&= \int x(-\cos x)'\,dx\\
&= x(-\cos x)-\int (x)'(-\cos x)\,dx\\
&= -x\cos x+\int \cos x\,dx\\
&= -x\cos x+\sin x+C
</tex>
例題3. log x の積分
-----------------------
つぎの積分を実行せよ.
<tex>
\int \log x\,dx
</tex>
解
^^^^^^^^^^^^
これは被積分関数が掛け算になっていません.一見簡単そうに...
$\log x$ の積分公式はないのですぐには解けません.そこで部...
<tex>
\int \log x\,dx = \int 1\cdot\log x\,dx
</tex>
というふうに無理矢理掛け算にしておきます. $x$ で微分して...
部分積分の公式からつぎのように積分計算ができます.
<tex>
\int \log x\,dx
&= \int (x)'\cdot\log x\,dx\\
&= x\log x-\int x(\log x)'\,dx\\
&= x\log x-\int x\frac{1}{x}\,dx\\
&= x\log x-\int 1\,dx\\
&= x\log x-x+C
</tex>
例題4. 少し複雑な積分
-------------------------
1種類の単原子分子からなる気体のマクスウェルの速度分布関数...
<tex>
f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2\exp\le...
</tex>
この気体分子の速度の平均値 $<x>$ は,速度に上式を掛け,
$v$ 空間で積分することで求められる. $<x>$ を計算せよ.
解
^^^^^^^^^^
この問題が例の,崎間が授業中解けなかったってやつです(他...
<tex>
<x> &= \int_0^{\infty}4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right...
&= 4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2} \int_0^...
</tex>
となります.このままではやりにくいので $v^2=x$ と置いて積...
<tex>
\frac{d}{dv}v^2=\frac{dx}{dv} \to dv=\frac{1}{2v}dx
</tex>
より
<tex>
\int_0^{\infty}v^3\exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)\,dv
&= \int_0^{\infty}v^3\exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right...
&= \frac{1}{2}\int_0^{\infty}v^2\exp\left(-\frac{mv^2}{2...
&= \frac{1}{2}\int_0^{\infty}x\exp\left(-\frac{mx}{2k_BT...
</tex>
です.ここで部分積分を行います,ってうわーなんだこれは....
<tex>
\frac{1}{2}\int_0^{\infty}&x\exp\left(-\frac{mx}{2k_BT}\r...
&= \frac{1}{2}\int_0^{\infty}x\left(-\frac{2k_BT}{m} \ex...
&= \frac{1}{2}\left[x\left(-\frac{2k_BT}{m}\exp\left(-\f...
-\frac{1}{2}\int_0^{\infty}(x)'\left(-\frac{2k_BT}{m}\...
&= -\frac{k_BT}{m}\left[x\exp\left(-\frac{mx}{2k_BT}\rig...
&= 0+\frac{k_BT}{m}\left[-\frac{2k_BT}{m} \exp\left(-\fr...
&= -\frac{2{k_B}^2T^2}{m^2}(0-1)\\
&= \frac{2{k_B}^2T^2}{m^2}
</tex>
なんとかスッキリしました. $exp(-\infty)=0$ になるのはい...
これでやっと,求めるべき平均速度 $<x>$ が
<tex>
<x> &= 4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}\frac{2{...
&= 4\pi\frac{m}{2\pi k_BT}\sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}\...
&= \frac{4k_BT}{m}\sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}\\
&= \sqrt{\frac{4^2{k_B}^2T^2}{m^2}\frac{m}{2\pi k_BT}...
&= \sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}
</tex>
と求まります.やたらと繁雑でしたが,計算間違いをしないよ...
(この記事を書くとき僕は何回も計算を間違えてました).
@@author:崎間@@
@@accept:2004-05-26@@
@@category:物理数学@@
@@id:integrationByParts@@
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