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#rst2hooktail_source
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部分群
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部分群という言葉は、ここまでにも何度も出てきました。直観...
ここまでは群の例を考えてきましたが、この辺りから群の性質...
部分群
-------------------------------------------------
ここまで、部分群という言葉をあまり正確に定義せずに使って...
群 $G$ の部分集合 $H$ が次の二つの条件を満たすとき、 $H$ ...
1. $a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H \ \ \ (1)$
2. $a \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1} \in H \ \ \ (...
まず、ここで行われている演算は、 $G$ の演算と同じですから...
あとは、単位元の存在が示せれば $H$ も群だと言えるのですが...
群 $G$ の部分群のうち、最大のものは $G$ 自身です。また、...
巡回部分群
-------------------------------------------------
群 $G$ (どんな群でも構わない)の任意の元 $a$ に対し、 $a$ ...
巡回部分群 $H$ が、部分群の定義 $(1)$ と $(2)$ を満たすこ...
<tex>
a^{i}, a^{j} \in H \ \Longrightarrow \ a^{i+j}
</tex>
また、 $a^{i}$ に対して $a^{-i}$ も必ず $H$ に含まれてま...
部分群のもう一つの定義
------------------------------------------------
上で与えた部分群の定義は直感的に意味も分かりやすく、十分...
条件 $(1)$ と $(2)$ より、次式が言えます。
<tex>
a,b \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}, b \in H \ \Longrig...
</tex>
条件 $(3)$ は条件 $(1)$ と $(2)$ から導かれた必要条件です...
条件 $(2)$ が示せると、ここから $a,b \in H \ \Longrightar...
従って、条件 $(3)$ は条件 $(1)(2)$ の必要十分条件になって...
.. [*] パッと見たところ、式 $(3)$ は片一方にだけ ${-1}$ ...
まとめ
---------------------------------------------------
ここまでの議論をまとめます。次の $1.$ 〜 $4.$ は、部分群...
1. $H$ は $G$ の部分群である。
2. $a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H; \ \ e \in ...
3. $a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H, \ a^{-1} \in ...
4. $a,b \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}b \in H$
4番目の定義が、ぱっと見ただけでは分かりにくいかも知れま...
.. [*] 加法群では $x^{-1}=-x$ と書かれますので、4番目の...
練習問題
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四番目の定義を使って、次のことを確認してみましょう。
1. 正の実数全体 $R^{+}$ は、実数の乗法群 $R-\{0 \}$ の部...
2. 正則な $n\times n$ 行列全体の作る群の中で、 $n \times ...
記号
------------------------------------------------------
群 $H$ が群 $G$ の部分群であることを、記号で $H \subset G...
一つの定理
------------------------------------------------------
部分群になりたつ定理を一つだけ紹介しておきます。
.. admonition :: theorem
任意の部分群 $H$ には $H^{2}=H$ がなりたちます。
.. admonition:: proof
証明は簡単です。 $e \in H$ より、 $H$ の元 $h \in H$ に...
.. [*] 二つの集合 $A,B$ が等しいことを示すのに、ここでや...
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _数学に出てくる○○空間ってなんだ?: http://www12.plala....
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: Subgroup@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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部分群
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部分群という言葉は、ここまでにも何度も出てきました。直観...
ここまでは群の例を考えてきましたが、この辺りから群の性質...
部分群
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ここまで、部分群という言葉をあまり正確に定義せずに使って...
群 $G$ の部分集合 $H$ が次の二つの条件を満たすとき、 $H$ ...
1. $a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H \ \ \ (1)$
2. $a \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1} \in H \ \ \ (...
まず、ここで行われている演算は、 $G$ の演算と同じですから...
あとは、単位元の存在が示せれば $H$ も群だと言えるのですが...
群 $G$ の部分群のうち、最大のものは $G$ 自身です。また、...
巡回部分群
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群 $G$ (どんな群でも構わない)の任意の元 $a$ に対し、 $a$ ...
巡回部分群 $H$ が、部分群の定義 $(1)$ と $(2)$ を満たすこ...
<tex>
a^{i}, a^{j} \in H \ \Longrightarrow \ a^{i+j}
</tex>
また、 $a^{i}$ に対して $a^{-i}$ も必ず $H$ に含まれてま...
部分群のもう一つの定義
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上で与えた部分群の定義は直感的に意味も分かりやすく、十分...
条件 $(1)$ と $(2)$ より、次式が言えます。
<tex>
a,b \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}, b \in H \ \Longrig...
</tex>
条件 $(3)$ は条件 $(1)$ と $(2)$ から導かれた必要条件です...
条件 $(2)$ が示せると、ここから $a,b \in H \ \Longrightar...
従って、条件 $(3)$ は条件 $(1)(2)$ の必要十分条件になって...
.. [*] パッと見たところ、式 $(3)$ は片一方にだけ ${-1}$ ...
まとめ
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ここまでの議論をまとめます。次の $1.$ 〜 $4.$ は、部分群...
1. $H$ は $G$ の部分群である。
2. $a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H; \ \ e \in ...
3. $a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H, \ a^{-1} \in ...
4. $a,b \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}b \in H$
4番目の定義が、ぱっと見ただけでは分かりにくいかも知れま...
.. [*] 加法群では $x^{-1}=-x$ と書かれますので、4番目の...
練習問題
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四番目の定義を使って、次のことを確認してみましょう。
1. 正の実数全体 $R^{+}$ は、実数の乗法群 $R-\{0 \}$ の部...
2. 正則な $n\times n$ 行列全体の作る群の中で、 $n \times ...
記号
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群 $H$ が群 $G$ の部分群であることを、記号で $H \subset G...
一つの定理
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部分群になりたつ定理を一つだけ紹介しておきます。
.. admonition :: theorem
任意の部分群 $H$ には $H^{2}=H$ がなりたちます。
.. admonition:: proof
証明は簡単です。 $e \in H$ より、 $H$ の元 $h \in H$ に...
.. [*] 二つの集合 $A,B$ が等しいことを示すのに、ここでや...
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _数学に出てくる○○空間ってなんだ?: http://www12.plala....
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: Subgroup@@
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