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#rst2hooktail_source
=================================================
微分形式の引き戻し1
=================================================
この記事では、引き戻しと呼ばれる概念を説明します。順を追...
座標変換の一般論
=========================================================...
まず、『全微分は座標系によらない』という話から始めましょ...
<tex>
df &= \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}...
&= \frac{\partial f}{\partial r}dr + \frac{\partial f}{\p...
</tex>
ただし、このような二種類の表現が出来るというのは、 $(x,y,...
<tex>
x = r \cos \theta \sin \phi \tag{2-1}
</tex>
<tex>
y = r \sin \theta \sin \phi \tag{2-2}
</tex>
<tex>
z = r \cos \phi \tag{2-3}
</tex>
.. [*] 先ほど、『滑らかな座標変換』と書きましたが、変換の...
.. image:: Joh-Pullback01.gif
さて、この座標変換を、上図のように、一つの空間上に二つの...
.. image:: Joh-Pullback02.gif
次元を変えても良い
=========================================================...
前セクションでは、デカルト座標系 $(x,y,z)$ から、球座標系...
<tex>
x_{1} = x_{2} (u,v) \tag{3-1}
</tex>
<tex>
x_{2} = x_{2} (u,v) \tag{3-2}
</tex>
<tex>
x_{3} = x_{3} (u,v) \tag{3-3}
</tex>
この座標変換のヤコビ行列は $2 \times 3$ 行列の形になりま...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccccc}
du \\
dv \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccccc}
\frac{\partial u}{\partial x_{1}} & \frac{\partial u}{\...
\frac{\partial u}{\partial x_{3}} \\
\frac{\partial v}{\partial x_{1}} & \frac{\partial v}{\...
\frac{\partial v}{\partial x_{3}} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccccc}
dx_{1} \\
dx_{2} \\
dx_{3}
\end{array}
\right) \tag{4}
</tex>
三次元を二次元に写像する場合というのは、例えば $(x,y,z)$ ...
.. image:: Joh-Pullback07.gif
.. [*] ただし、上図のようなイメージだけでは、ちょうど光線...
次元を上げてみてもいい
---------------------------------------------------------...
前セクションの逆で、今度は、二次元 $(x_{1},x_{2})$ で考え...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccccc}
du \\
dv \\
dw \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccccc}
\frac{\partial u}{\partial x_{1}} & \frac{\partial u}{\...
\frac{\partial v}{\partial x_{1}} & \frac{\partial v}{\...
\frac{\partial w}{\partial x_{3}} & \frac{\partial w}{\...
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccccc}
dx_{1} \\
dx_{2} \\
\end{array}
\right) \tag{5}
</tex>
このような写像がある、と言っているのですから、安心して写...
.. image:: Joh-Pullback77.gif
.. [*] もし私が二次元生物だとして、『本当はお前は三次元生...
関数の写像
=========================================================...
さて、今まで変数の写像ばかり話をしてきましたが、関数の写...
<tex>
y_{1} = \phi_{1} (x_{1},x_{2},...,x_{m})
</tex>
<tex>
y_{2} = \phi_{2} (x_{1},x_{2},...,x_{m})
</tex>
<tex>
........................................
</tex>
<tex>
y_{n} = \phi_{n} (x_{1},x_{2},...,x_{m}) \tag{6}
</tex>
ここで、『変数 $(x_{1},x_{2},...,x_{m})$ の世界』と『変数...
.. [*] もし多様体の概念を知っている人は、この $M$ や $N$ ...
.. image:: Joh-Pullback04.gif
さて、いきなりですが、 $N$ 上で定義される、ある関数 $f$ ...
<tex>
f(y_{1},y_{2},....,y_{n}) \in R
</tex>
<tex>
f: \ N \ \ \rightarrow \ \ R
</tex>
さっきの図に、この写像を書き足してみます。
.. image:: Joh-Pullback05.gif
こう書いてみると、 $M$ から $R$ へ直接行く写像も欲しくな...
.. image:: Joh-Pullback55.gif
さて、基本的に $g(x_{1},x_{2},...,x_{m})$ と $f(y_{1},y_{...
<tex>
g(x_{1},x_{2},...,x_{m}) &= f(y_{1},y_{2},...,y_{n}) \\
& = f(\phi_{1}(x_{i}),\phi_{2}(x_{i}),...,\phi_{n}(x_{i})...
</tex>
両辺を見比べて、関数 $g$ は、 $\phi$ と $f$ の合成写像で...
<tex>
g = f \circ \phi \tag{8}
</tex>
この $g$ を、 $f$ の *引き戻し* ( $\text{pull back}$ )と...
.. image:: Joh-Pullback06.gif
.. admonition:: theorem
変数の写像 $\phi: \ M \rightarrow N$ によって、 $N$ 上の...
.. [*] 注意しておきますが、 $\phi ^{*}$ は $\phi $ の逆写...
.. [*] 式 $(7)$ を見れば明らかなように、写像 $\phi: \ M \...
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialform...
.. _`微分形式の引き戻し2`: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsPullback1@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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微分形式の引き戻し1
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この記事では、引き戻しと呼ばれる概念を説明します。順を追...
座標変換の一般論
=========================================================...
まず、『全微分は座標系によらない』という話から始めましょ...
<tex>
df &= \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}...
&= \frac{\partial f}{\partial r}dr + \frac{\partial f}{\p...
</tex>
ただし、このような二種類の表現が出来るというのは、 $(x,y,...
<tex>
x = r \cos \theta \sin \phi \tag{2-1}
</tex>
<tex>
y = r \sin \theta \sin \phi \tag{2-2}
</tex>
<tex>
z = r \cos \phi \tag{2-3}
</tex>
.. [*] 先ほど、『滑らかな座標変換』と書きましたが、変換の...
.. image:: Joh-Pullback01.gif
さて、この座標変換を、上図のように、一つの空間上に二つの...
.. image:: Joh-Pullback02.gif
次元を変えても良い
=========================================================...
前セクションでは、デカルト座標系 $(x,y,z)$ から、球座標系...
<tex>
x_{1} = x_{2} (u,v) \tag{3-1}
</tex>
<tex>
x_{2} = x_{2} (u,v) \tag{3-2}
</tex>
<tex>
x_{3} = x_{3} (u,v) \tag{3-3}
</tex>
この座標変換のヤコビ行列は $2 \times 3$ 行列の形になりま...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccccc}
du \\
dv \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccccc}
\frac{\partial u}{\partial x_{1}} & \frac{\partial u}{\...
\frac{\partial u}{\partial x_{3}} \\
\frac{\partial v}{\partial x_{1}} & \frac{\partial v}{\...
\frac{\partial v}{\partial x_{3}} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccccc}
dx_{1} \\
dx_{2} \\
dx_{3}
\end{array}
\right) \tag{4}
</tex>
三次元を二次元に写像する場合というのは、例えば $(x,y,z)$ ...
.. image:: Joh-Pullback07.gif
.. [*] ただし、上図のようなイメージだけでは、ちょうど光線...
次元を上げてみてもいい
---------------------------------------------------------...
前セクションの逆で、今度は、二次元 $(x_{1},x_{2})$ で考え...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccccc}
du \\
dv \\
dw \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccccc}
\frac{\partial u}{\partial x_{1}} & \frac{\partial u}{\...
\frac{\partial v}{\partial x_{1}} & \frac{\partial v}{\...
\frac{\partial w}{\partial x_{3}} & \frac{\partial w}{\...
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccccc}
dx_{1} \\
dx_{2} \\
\end{array}
\right) \tag{5}
</tex>
このような写像がある、と言っているのですから、安心して写...
.. image:: Joh-Pullback77.gif
.. [*] もし私が二次元生物だとして、『本当はお前は三次元生...
関数の写像
=========================================================...
さて、今まで変数の写像ばかり話をしてきましたが、関数の写...
<tex>
y_{1} = \phi_{1} (x_{1},x_{2},...,x_{m})
</tex>
<tex>
y_{2} = \phi_{2} (x_{1},x_{2},...,x_{m})
</tex>
<tex>
........................................
</tex>
<tex>
y_{n} = \phi_{n} (x_{1},x_{2},...,x_{m}) \tag{6}
</tex>
ここで、『変数 $(x_{1},x_{2},...,x_{m})$ の世界』と『変数...
.. [*] もし多様体の概念を知っている人は、この $M$ や $N$ ...
.. image:: Joh-Pullback04.gif
さて、いきなりですが、 $N$ 上で定義される、ある関数 $f$ ...
<tex>
f(y_{1},y_{2},....,y_{n}) \in R
</tex>
<tex>
f: \ N \ \ \rightarrow \ \ R
</tex>
さっきの図に、この写像を書き足してみます。
.. image:: Joh-Pullback05.gif
こう書いてみると、 $M$ から $R$ へ直接行く写像も欲しくな...
.. image:: Joh-Pullback55.gif
さて、基本的に $g(x_{1},x_{2},...,x_{m})$ と $f(y_{1},y_{...
<tex>
g(x_{1},x_{2},...,x_{m}) &= f(y_{1},y_{2},...,y_{n}) \\
& = f(\phi_{1}(x_{i}),\phi_{2}(x_{i}),...,\phi_{n}(x_{i})...
</tex>
両辺を見比べて、関数 $g$ は、 $\phi$ と $f$ の合成写像で...
<tex>
g = f \circ \phi \tag{8}
</tex>
この $g$ を、 $f$ の *引き戻し* ( $\text{pull back}$ )と...
.. image:: Joh-Pullback06.gif
.. admonition:: theorem
変数の写像 $\phi: \ M \rightarrow N$ によって、 $N$ 上の...
.. [*] 注意しておきますが、 $\phi ^{*}$ は $\phi $ の逆写...
.. [*] 式 $(7)$ を見れば明らかなように、写像 $\phi: \ M \...
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialform...
.. _`微分形式の引き戻し2`: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsPullback1@@
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