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===============================================
反対称テンソルと軸性ベクトル
===============================================
反対称テンソルとは、テンソルの成分の添字をどれか一つ入れ...
<tex>
A_{ijklm...} = -A_{jiklm...} \tag{1}
</tex>
二階のテンソルで例を考えると、次のような行列で表現される...
<tex>
A_{ij} =
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -A_{12} & -A_{13} \\
A_{12} & 0 & -A_{23} \\
A_{13} & A_{23} & 0 \\
\end{array}
\right) \tag{2}
</tex>
この記事では、反対称テンソルと軸性ベクトルの関係を探りま...
反対称テンソルの座標変換
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
二階の反対称テンソルを例に、テンソルの座標変換の式 ${A'}_...
<tex>
{A'}_{ij} &={\alpha}_{il}{\alpha}_{jm}A^{lm} \\
&= {\alpha}_{i1}{\alpha}_{j1}A^{11} + {\alpha}_{i1}{\alph...
& \ \ + {\alpha}_{i2}{\alpha}_{j1}A^{21} + {\alpha}_{i2}{...
& \ \ + {\alpha}_{i3}{\alpha}_{j1}A^{31} + {\alpha}_{i3}{...
&= {\alpha}_{i1}{\alpha}_{j2}A^{12} + {\alpha}_{i1}{\alp...
& \ \ + {\alpha}_{i2}{\alpha}_{j1}A^{21} + {\alpha}_{i2}{...
& \ \ + {\alpha}_{i3}{\alpha}_{j1}A^{31} + {\alpha}_{i3}{...
&= ({\alpha}_{i1}{\alpha}_{j2}-{\alpha}_{i2}{\alpha}_{j1}...
& \ \ \ \ \ (\because A^{12}=-A^{21}, \ A^{23}=-A^{32}, A...
</tex>
縮約を使って右辺をまとめると、結局、反対称テンソルの座標...
<tex>
{A'}_{ij} = ({\alpha}_{il}{\alpha}_{jm}-{\alpha}_{im}{\al...
</tex>
しかし、行列表現 $(2)$ を見れば一目瞭然ですが、反対称テン...
直交座標の場合
---------------------------------------------------------...
結論から言うと、基底が正規直交座標系の場合に式 $(3)$ をさ...
<tex>
\bm{{e'}_{i}} = \alpha_{il}\bm{e_{l}} \tag{4}
</tex>
式 $(4)$ の両辺と $\bm{{e'}_{j}}=\alpha_{jm}\bm{e_{m}}$ ...
<tex>
\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}} = \alpha_{il}\alpha_{j...
</tex>
さらに $ \bm{{e}_{n}}$ と両辺の内積を取ります。
<tex>
(\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}} ) \cdot \bm{{e}_{n}} ...
</tex>
何がしたかったかと言うと、スカラー三重積の形を作りたかっ...
では $l,m,n$ は相異なるとして、右辺の三重積は具体的にどう...
<tex>
(\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}} ) \cdot \bm{{e}_{n}}
&= \alpha_{il}\alpha_{jm}(\bm{e_{l}}\times \bm{e_{m}}) \c...
&= \alpha_{il}\alpha_{jm} -\alpha_{im}\alpha_{jl} \tag{6}
</tex>
次に、左辺をもう少し工夫することを考えましょう。左辺の添...
<tex>
\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}} = \bm{{e'}_{k}} \tag{7}
</tex>
<tex>
\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}} = - \bm{{e'}_{k}} \tag...
</tex>
そこで、左辺は $(\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}})\cdot...
。 $\pm$ は右手系か左手系かに応じて決めるものとします。
<tex>
\alpha_{kn}=\pm( \alpha_{il}\alpha_{jm} -\alpha_{im}\alph...
</tex>
式 $(9)$ に含まれる添字は、 $i,j,k$ と $l,m,n$ がそれぞれ...
<tex>
{A'}_{ij} = ({\alpha}_{il}{\alpha}_{jm}-{\alpha}_{im}{\al...
</tex>
反対称テンソルでは、独立な成分は $3$ つしかありませんでし...
<tex>
{A'}_{k} = ({\alpha}_{il}{\alpha}_{jm}-{\alpha}_{im}{\alp...
</tex>
右辺に式 $(9)$ の結果を代入すると、次式に至ります。これが...
<tex>
{A'}_{k} = \pm \alpha_{kn} A_{n} \tag{11}
</tex>
式 $(11)$ は見かけ上、ベクトルの座標変換の式によく似てい...
『少し違う』という意味で、座標変換に際して式 $(11)$ に従...
二階の反対称テンソルは、擬ベクトル(軸性ベクトル)と等価...
.. _軸性ベクトルと極性ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
.. _三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/T...
.. _擬テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: PolarvectorAntisymtensor@@
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反対称テンソルと軸性ベクトル
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反対称テンソルとは、テンソルの成分の添字をどれか一つ入れ...
<tex>
A_{ijklm...} = -A_{jiklm...} \tag{1}
</tex>
二階のテンソルで例を考えると、次のような行列で表現される...
<tex>
A_{ij} =
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -A_{12} & -A_{13} \\
A_{12} & 0 & -A_{23} \\
A_{13} & A_{23} & 0 \\
\end{array}
\right) \tag{2}
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この記事では、反対称テンソルと軸性ベクトルの関係を探りま...
反対称テンソルの座標変換
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二階の反対称テンソルを例に、テンソルの座標変換の式 ${A'}_...
<tex>
{A'}_{ij} &={\alpha}_{il}{\alpha}_{jm}A^{lm} \\
&= {\alpha}_{i1}{\alpha}_{j1}A^{11} + {\alpha}_{i1}{\alph...
& \ \ + {\alpha}_{i2}{\alpha}_{j1}A^{21} + {\alpha}_{i2}{...
& \ \ + {\alpha}_{i3}{\alpha}_{j1}A^{31} + {\alpha}_{i3}{...
&= {\alpha}_{i1}{\alpha}_{j2}A^{12} + {\alpha}_{i1}{\alp...
& \ \ + {\alpha}_{i2}{\alpha}_{j1}A^{21} + {\alpha}_{i2}{...
& \ \ + {\alpha}_{i3}{\alpha}_{j1}A^{31} + {\alpha}_{i3}{...
&= ({\alpha}_{i1}{\alpha}_{j2}-{\alpha}_{i2}{\alpha}_{j1}...
& \ \ \ \ \ (\because A^{12}=-A^{21}, \ A^{23}=-A^{32}, A...
</tex>
縮約を使って右辺をまとめると、結局、反対称テンソルの座標...
<tex>
{A'}_{ij} = ({\alpha}_{il}{\alpha}_{jm}-{\alpha}_{im}{\al...
</tex>
しかし、行列表現 $(2)$ を見れば一目瞭然ですが、反対称テン...
直交座標の場合
---------------------------------------------------------...
結論から言うと、基底が正規直交座標系の場合に式 $(3)$ をさ...
<tex>
\bm{{e'}_{i}} = \alpha_{il}\bm{e_{l}} \tag{4}
</tex>
式 $(4)$ の両辺と $\bm{{e'}_{j}}=\alpha_{jm}\bm{e_{m}}$ ...
<tex>
\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}} = \alpha_{il}\alpha_{j...
</tex>
さらに $ \bm{{e}_{n}}$ と両辺の内積を取ります。
<tex>
(\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}} ) \cdot \bm{{e}_{n}} ...
</tex>
何がしたかったかと言うと、スカラー三重積の形を作りたかっ...
では $l,m,n$ は相異なるとして、右辺の三重積は具体的にどう...
<tex>
(\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}} ) \cdot \bm{{e}_{n}}
&= \alpha_{il}\alpha_{jm}(\bm{e_{l}}\times \bm{e_{m}}) \c...
&= \alpha_{il}\alpha_{jm} -\alpha_{im}\alpha_{jl} \tag{6}
</tex>
次に、左辺をもう少し工夫することを考えましょう。左辺の添...
<tex>
\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}} = \bm{{e'}_{k}} \tag{7}
</tex>
<tex>
\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}} = - \bm{{e'}_{k}} \tag...
</tex>
そこで、左辺は $(\bm{{e'}_{i}} \times \bm{{e'}_{j}})\cdot...
。 $\pm$ は右手系か左手系かに応じて決めるものとします。
<tex>
\alpha_{kn}=\pm( \alpha_{il}\alpha_{jm} -\alpha_{im}\alph...
</tex>
式 $(9)$ に含まれる添字は、 $i,j,k$ と $l,m,n$ がそれぞれ...
<tex>
{A'}_{ij} = ({\alpha}_{il}{\alpha}_{jm}-{\alpha}_{im}{\al...
</tex>
反対称テンソルでは、独立な成分は $3$ つしかありませんでし...
<tex>
{A'}_{k} = ({\alpha}_{il}{\alpha}_{jm}-{\alpha}_{im}{\alp...
</tex>
右辺に式 $(9)$ の結果を代入すると、次式に至ります。これが...
<tex>
{A'}_{k} = \pm \alpha_{kn} A_{n} \tag{11}
</tex>
式 $(11)$ は見かけ上、ベクトルの座標変換の式によく似てい...
『少し違う』という意味で、座標変換に際して式 $(11)$ に従...
二階の反対称テンソルは、擬ベクトル(軸性ベクトル)と等価...
.. _軸性ベクトルと極性ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
.. _三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/T...
.. _擬テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: PolarvectorAntisymtensor@@
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