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波の式1
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波動を学んでいると,「波の式」というものが登場します.振...
任意の点 $x$ の時刻 $t$ における変位 $y(x, t)$ を求めるこ...
以下では,変位 $y[{\rm m}]$ や位置 $x[{\rm m}]$ ,時刻 $t...
出てきます.これらについて勉強が済んでいない人は,まず 波...
原点は単振動している
---------------------------------------------------------...
分かりやすいように,波源は原点にあるとします.そして,そ...
原点での変位 $y(0, t)$ はどのように表せるでしょうか.
ここでは周期を $T$ としていますので, $T[s]$ 経過した時に...
時刻 $t=0$ での変位を $0$ とし,そこから単振動をスタート...
<tex>y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T} \tag{1}</tex>
となります. $A$ は振幅です.時刻 $t=0$ からスタートして...
つまり,変位が元に戻ってくるということです.ここで,位相...
(式(1)のより詳細な説明については, 単振動_ を参照してく...
原点の振動が伝わっていく
---------------------------------------------------------...
原点の振動が式(1)のように表されるとき,波はどのように伝わ...
グラフに描いてみましょう.ひもの先を原点で振動させるよう...
波源から出た波は,等速で伝わっていきます.
- $t=0$
.. image:: tomo-sinwave-fig1.png
- $t=\frac{1}{4}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig2.png
- $t=\frac{1}{2}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig3.png
- $t=\frac{3}{4}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig4.png
- $t=T$
.. image:: tomo-sinwave-fig5.png
- $t=\frac{5}{4}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig6.png
このように伝わっていきますね.原点での振動がだんだんと伝...
上に示したグラフは, $y-x$ グラフです.つまり,グラフ1枚1...
そして,時刻を追って動かすと,以下のようになります.
.. image:: tomo-sinwave-fig8.gif
原点以外の点ではどのような振動になるか
---------------------------------------------------------...
では,原点以外の点ではどのような振動になるかをみていきま...
波は以下のように伝わっていくのでした.
.. image:: tomo-sinwave-fig7.png
点 $x$ にスポットを当てて考えてみます.今,点 $x$ にいる...
元はといえば原点にいました.何秒か前の原点の振動が再現さ...
では,何秒前の原点の振動が再現されているのでしょうか.
波の伝わる速さを $v$ としますと,原点から点 $x$ に到達す...
つまり, $\frac{x}{v}$ 秒前の原点での振動が,今,点 $x$ ...
原点は(1)で表される振動をしているわけですから,点 $x$ に...
<tex>y(t, x)=y\left(0, t-\frac{x}{v}\right)=A\sin 2\pi\fr...
となることが分かります.少し書き換えてみますと,
<tex>
\begin{array}{rl}
y(t, x) &= \displaystyle A\sin \frac{2\pi}{T}\left(t-\fra...
&= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\fr...
&= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\fr...
\end{array}
</tex>
となります( $\lambda$ は波長).今まで一生懸命この式を覚...
えぇ〜っと・・・ $T$ はどこだっけ・・・ $\lambda$ はどこだっけ・...
導出はそれほど難しくありませんから,式を覚えるより考え方...
また,はじめのセクションでも触れましたが,位相は無次元で...
割ってありますし, $x[{\rm m}]$ が $\lambda[{\rm m}]$ で...
そういったところを気をつけていると,つまらない間違えをふ...
.. _波の大事な性質: http://www12.plala.or.jp/ksp/wave/wav...
.. _単振動: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/simple...
@@author: tomo@@
@@accept: 2005-07-10@@
@@category: 波と振動@@
@@information: イラスト:崎間, アニメーション:CO@@
@@id:sinWave1@@
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波の式1
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波動を学んでいると,「波の式」というものが登場します.振...
任意の点 $x$ の時刻 $t$ における変位 $y(x, t)$ を求めるこ...
以下では,変位 $y[{\rm m}]$ や位置 $x[{\rm m}]$ ,時刻 $t...
出てきます.これらについて勉強が済んでいない人は,まず 波...
原点は単振動している
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分かりやすいように,波源は原点にあるとします.そして,そ...
原点での変位 $y(0, t)$ はどのように表せるでしょうか.
ここでは周期を $T$ としていますので, $T[s]$ 経過した時に...
時刻 $t=0$ での変位を $0$ とし,そこから単振動をスタート...
<tex>y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T} \tag{1}</tex>
となります. $A$ は振幅です.時刻 $t=0$ からスタートして...
つまり,変位が元に戻ってくるということです.ここで,位相...
(式(1)のより詳細な説明については, 単振動_ を参照してく...
原点の振動が伝わっていく
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原点の振動が式(1)のように表されるとき,波はどのように伝わ...
グラフに描いてみましょう.ひもの先を原点で振動させるよう...
波源から出た波は,等速で伝わっていきます.
- $t=0$
.. image:: tomo-sinwave-fig1.png
- $t=\frac{1}{4}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig2.png
- $t=\frac{1}{2}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig3.png
- $t=\frac{3}{4}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig4.png
- $t=T$
.. image:: tomo-sinwave-fig5.png
- $t=\frac{5}{4}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig6.png
このように伝わっていきますね.原点での振動がだんだんと伝...
上に示したグラフは, $y-x$ グラフです.つまり,グラフ1枚1...
そして,時刻を追って動かすと,以下のようになります.
.. image:: tomo-sinwave-fig8.gif
原点以外の点ではどのような振動になるか
---------------------------------------------------------...
では,原点以外の点ではどのような振動になるかをみていきま...
波は以下のように伝わっていくのでした.
.. image:: tomo-sinwave-fig7.png
点 $x$ にスポットを当てて考えてみます.今,点 $x$ にいる...
元はといえば原点にいました.何秒か前の原点の振動が再現さ...
では,何秒前の原点の振動が再現されているのでしょうか.
波の伝わる速さを $v$ としますと,原点から点 $x$ に到達す...
つまり, $\frac{x}{v}$ 秒前の原点での振動が,今,点 $x$ ...
原点は(1)で表される振動をしているわけですから,点 $x$ に...
<tex>y(t, x)=y\left(0, t-\frac{x}{v}\right)=A\sin 2\pi\fr...
となることが分かります.少し書き換えてみますと,
<tex>
\begin{array}{rl}
y(t, x) &= \displaystyle A\sin \frac{2\pi}{T}\left(t-\fra...
&= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\fr...
&= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\fr...
\end{array}
</tex>
となります( $\lambda$ は波長).今まで一生懸命この式を覚...
えぇ〜っと・・・ $T$ はどこだっけ・・・ $\lambda$ はどこだっけ・...
導出はそれほど難しくありませんから,式を覚えるより考え方...
また,はじめのセクションでも触れましたが,位相は無次元で...
割ってありますし, $x[{\rm m}]$ が $\lambda[{\rm m}]$ で...
そういったところを気をつけていると,つまらない間違えをふ...
.. _波の大事な性質: http://www12.plala.or.jp/ksp/wave/wav...
.. _単振動: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/simple...
@@author: tomo@@
@@accept: 2005-07-10@@
@@category: 波と振動@@
@@information: イラスト:崎間, アニメーション:CO@@
@@id:sinWave1@@
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