記事ソース/任意方向の1/2スピンの回転と実現方法
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=========================================================...
任意方向の1/2スピンの回転と実現方法
=========================================================...
この記事は有名サイト『EMANの物理学』さんの スピノールの記...
理論的な内容はあまりなく、EMANさんの理論が上手くできてい...
任意方向軸 $(x,y,z) = (\sin \theta \cos \phi, \sin \theta...
扱います。ちなみにこの場合の $\alpha$ の正の方向は、その...
EMANさんの結果
==================================
EMANさんの記事では、一般方向の有限角回転の演算子が書いて...
それは、結果を要約して示すと、
<tex>
U(\alpha) = \exp \left( -\dfrac{i}{2} \bm{\alpha} \cdot \...
</tex>
ここで、 $U(\alpha)$ は2×2のユニタリー行列、
<tex>
\bm{\alpha} = \left( \alpha \sin \theta \cos \phi, \alpha...
</tex>
は、長さ $\alpha$ が回転角であり、向き $\dfrac{\bm{\alpha...
<tex>
\bm{\sigma} &= \left( \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z \right...
\sigma_x &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}, \ \ \
\sigma_y =
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}, \ \ \
\sigma_z =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
なので、内積は2×2行列であり、
<tex>
\bm{\alpha} \cdot \bm{\sigma} =
\begin{pmatrix}
\alpha \cos \theta & \alpha \sin \theta e^{- i \phi} \\
\alpha \sin \theta e^{i \phi} & - \alpha \cos \theta
\end{pmatrix}
\equiv \alpha \sigma_n \tag{##}
</tex>
となります。
EMANさんの記事には、$z$ 軸方向の回転行列 $U(\alpha)$ が書...
それは、 $\theta = 0$ 、 $\phi$ :任意の時であり、
<tex>
U(\alpha) = \begin{pmatrix}
e^{-i\alpha/2} & 0 \\
0 & e^{i\alpha/2}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
これを包含する回転行列 $U(\theta,\phi;\alpha)$ を作るのが...
望む計算の実行
===========================================
ここで、一つ準備をします。
<tex>
\sigma_n^2 = I \tag{##}
</tex>
つまり、 $\sigma_n$ の二乗は単位行列です。
後は、式 $(1)$ の計算を具体的に実行するのみで、
結果は、
<tex>
U(\theta,\phi;\alpha) &= \exp \left( -\dfrac{i}{2} \bm{\a...
&= \exp \left( -\dfrac{i}{2} \alpha \sigma_n \right) \\
&= I -\dfrac{i}{1!} \left( \dfrac{\alpha}{2}\right) \sigm...
&= \cos \left( \dfrac{\alpha}{2} \right)I - i \sin \left(...
</tex>
つまり、 $\theta^\prime,\phi^\prime$ 方向を向いたスピノール
<tex>
\chi &= \begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta^\prime}{2} e^{-i\phi^\prime/2} \\
\sin \dfrac{\theta^\prime}{2} e^{i\phi^\prime/2}
\end{pmatrix} \\
&= \cos \dfrac{\theta^\prime}{2} e^{-i\phi^\prime/2} | \...
</tex>
を回転軸 $\theta,\phi$ として、角度 $\alpha$ だけ回転する...
<tex>
\chi^\prime &= U(\theta,\phi;\alpha) \chi \\
&= \left( \cos \left( \dfrac{\alpha}{2} \right)I - i \sin...
&=
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\alpha}{2} -i \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \t...
-i \sin \dfrac{\alpha}{2} \sin \theta e^{i\phi} & \cos \...
\end{pmatrix}\chi \tag{##}
</tex>
具体例の計算(EMANさんの結果)
=================================
ここできちんとEMANさんの結果、式 $(5)$ と一致することを確...
それは $\theta = 0$ 、 $\phi$ :任意でしたから、
<tex>
U(0,\phi;\alpha)
&= \left( \cos \left( \dfrac{\alpha}{2} \right)I - i \sin...
&=
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\alpha}{2} -i \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos 0 ...
-i \sin \dfrac{\alpha}{2} \sin 0 e^{i\phi} & \cos \dfrac...
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
e^{-i\alpha/2} & 0 \\
0 & e^{i\alpha/2}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
OKです。一致しました。
具体例の計算(変化しないはずの回転の結果)
=================================================
また、 $\sigma_n$ の固有ベクトル(スピノール)が、上記の ...
から、 $ \theta = \theta^\prime $ かつ $ \phi = \phi^\pri...
<tex>
U(\theta,\phi;\alpha) \chi_1 &= \left( \cos \left( \dfrac...
&= \left( \cos \dfrac{\alpha}{2} - i \sin \dfrac{\alpha}{...
&= e^{-i \alpha /2} \chi_1 \tag{##}
</tex>
なるほど、回転軸の方を向いたスピノール $\chi_1$ の回転で...
変化しないはずだと思いましたが、回転角 $\alpha$ の大きさ...
全体の位相が変わっていくようです。
具体例の計算(アダマールゲート)
=============================================
以前、量子コンピュータ関連の講義を聞いた時に、
アダマールゲートというものを習いました。
それは、
<tex>
H &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
であり、 $\theta=\dfrac{\pi}{4},\phi=0,\alpha=\pi$ に相当...
では、これは $U(\dfrac{\pi}{4},0;\pi)$ で再現できるでしょ...
計算してみると、
<tex>
U(\dfrac{\pi}{4},0;\pi) &= \dfrac{-i}{\sqrt{2}} \begin{pm...
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
全体の位相 $-i$ を除いて一致しました。
実はこれを再現したくて今回の計算を始めたのです。
実際に回転ってどうやるの?
====================================
さて、今回はスピンの回転でしたが、実際に回転して見ろと言...
はて?どうしたものか?と言う方もいらっしゃることと思いま...
実は、磁場 $\bm{B}$ を掛けると回転できます。
磁場 $\bm{B}$ とスピン $\dfrac{\hbar}{2} \bm{\sigma}$ の...
2×2行列となり、
<tex>
H &= \dfrac{ge}{m} \dfrac{\hbar}{2} \bm{\sigma} \cdot \bm...
&= \dfrac{g\hbar e}{2 m} \bm{\sigma} \cdot \bm{B} \tag{##}
</tex>
ここで、 $g$ はランデのg因子と言い、およそ大きさが2くら...
系の時間発展は、波動関数(スピノール)を $\chi \to \psi(t)$...
<tex>
\psi(t) &= \exp \left( - \dfrac{iHt}{\hbar} \right) \psi(...
&= \exp \left( - \dfrac{ige}{2m} \bm{\sigma} \cdot \bm{B}...
&= \exp \left( - \dfrac{ige|\bm{B}|t}{2m} \sigma_n \right...
\tag{##}
</tex>
式 $(7)$ の二行目と比較して、
<tex>
U(\theta,\phi;\alpha) = \exp \left( - \dfrac{i \alpha}{2}...
\tag{##}
</tex>
でしたから、一秒間に $\alpha = \dfrac{ge|\bm{B}|}{m}$ ラ...
良く言われることですが $ \alpha = 2 \pi$ の回転でスピノー...
位相因子 $e^{-i\pi}=-1$ が掛かるのが、式 $(13)$ の二乗の...
それでは今日はこの辺で。お疲れ様でした。
.. _証明した記事: http://hooktail.sub.jp/quantum/spinRota...
.. _スピノールの記事: http://eman-physics.net/quantum/spi...
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-03-18@@
@@category:量子力学@@
@@id:spinRotation@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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任意方向の1/2スピンの回転と実現方法
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この記事は有名サイト『EMANの物理学』さんの スピノールの記...
理論的な内容はあまりなく、EMANさんの理論が上手くできてい...
任意方向軸 $(x,y,z) = (\sin \theta \cos \phi, \sin \theta...
扱います。ちなみにこの場合の $\alpha$ の正の方向は、その...
EMANさんの結果
==================================
EMANさんの記事では、一般方向の有限角回転の演算子が書いて...
それは、結果を要約して示すと、
<tex>
U(\alpha) = \exp \left( -\dfrac{i}{2} \bm{\alpha} \cdot \...
</tex>
ここで、 $U(\alpha)$ は2×2のユニタリー行列、
<tex>
\bm{\alpha} = \left( \alpha \sin \theta \cos \phi, \alpha...
</tex>
は、長さ $\alpha$ が回転角であり、向き $\dfrac{\bm{\alpha...
<tex>
\bm{\sigma} &= \left( \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z \right...
\sigma_x &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}, \ \ \
\sigma_y =
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}, \ \ \
\sigma_z =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
なので、内積は2×2行列であり、
<tex>
\bm{\alpha} \cdot \bm{\sigma} =
\begin{pmatrix}
\alpha \cos \theta & \alpha \sin \theta e^{- i \phi} \\
\alpha \sin \theta e^{i \phi} & - \alpha \cos \theta
\end{pmatrix}
\equiv \alpha \sigma_n \tag{##}
</tex>
となります。
EMANさんの記事には、$z$ 軸方向の回転行列 $U(\alpha)$ が書...
それは、 $\theta = 0$ 、 $\phi$ :任意の時であり、
<tex>
U(\alpha) = \begin{pmatrix}
e^{-i\alpha/2} & 0 \\
0 & e^{i\alpha/2}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
これを包含する回転行列 $U(\theta,\phi;\alpha)$ を作るのが...
望む計算の実行
===========================================
ここで、一つ準備をします。
<tex>
\sigma_n^2 = I \tag{##}
</tex>
つまり、 $\sigma_n$ の二乗は単位行列です。
後は、式 $(1)$ の計算を具体的に実行するのみで、
結果は、
<tex>
U(\theta,\phi;\alpha) &= \exp \left( -\dfrac{i}{2} \bm{\a...
&= \exp \left( -\dfrac{i}{2} \alpha \sigma_n \right) \\
&= I -\dfrac{i}{1!} \left( \dfrac{\alpha}{2}\right) \sigm...
&= \cos \left( \dfrac{\alpha}{2} \right)I - i \sin \left(...
</tex>
つまり、 $\theta^\prime,\phi^\prime$ 方向を向いたスピノール
<tex>
\chi &= \begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta^\prime}{2} e^{-i\phi^\prime/2} \\
\sin \dfrac{\theta^\prime}{2} e^{i\phi^\prime/2}
\end{pmatrix} \\
&= \cos \dfrac{\theta^\prime}{2} e^{-i\phi^\prime/2} | \...
</tex>
を回転軸 $\theta,\phi$ として、角度 $\alpha$ だけ回転する...
<tex>
\chi^\prime &= U(\theta,\phi;\alpha) \chi \\
&= \left( \cos \left( \dfrac{\alpha}{2} \right)I - i \sin...
&=
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\alpha}{2} -i \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \t...
-i \sin \dfrac{\alpha}{2} \sin \theta e^{i\phi} & \cos \...
\end{pmatrix}\chi \tag{##}
</tex>
具体例の計算(EMANさんの結果)
=================================
ここできちんとEMANさんの結果、式 $(5)$ と一致することを確...
それは $\theta = 0$ 、 $\phi$ :任意でしたから、
<tex>
U(0,\phi;\alpha)
&= \left( \cos \left( \dfrac{\alpha}{2} \right)I - i \sin...
&=
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\alpha}{2} -i \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos 0 ...
-i \sin \dfrac{\alpha}{2} \sin 0 e^{i\phi} & \cos \dfrac...
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
e^{-i\alpha/2} & 0 \\
0 & e^{i\alpha/2}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
OKです。一致しました。
具体例の計算(変化しないはずの回転の結果)
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また、 $\sigma_n$ の固有ベクトル(スピノール)が、上記の ...
から、 $ \theta = \theta^\prime $ かつ $ \phi = \phi^\pri...
<tex>
U(\theta,\phi;\alpha) \chi_1 &= \left( \cos \left( \dfrac...
&= \left( \cos \dfrac{\alpha}{2} - i \sin \dfrac{\alpha}{...
&= e^{-i \alpha /2} \chi_1 \tag{##}
</tex>
なるほど、回転軸の方を向いたスピノール $\chi_1$ の回転で...
変化しないはずだと思いましたが、回転角 $\alpha$ の大きさ...
全体の位相が変わっていくようです。
具体例の計算(アダマールゲート)
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以前、量子コンピュータ関連の講義を聞いた時に、
アダマールゲートというものを習いました。
それは、
<tex>
H &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
であり、 $\theta=\dfrac{\pi}{4},\phi=0,\alpha=\pi$ に相当...
では、これは $U(\dfrac{\pi}{4},0;\pi)$ で再現できるでしょ...
計算してみると、
<tex>
U(\dfrac{\pi}{4},0;\pi) &= \dfrac{-i}{\sqrt{2}} \begin{pm...
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
全体の位相 $-i$ を除いて一致しました。
実はこれを再現したくて今回の計算を始めたのです。
実際に回転ってどうやるの?
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さて、今回はスピンの回転でしたが、実際に回転して見ろと言...
はて?どうしたものか?と言う方もいらっしゃることと思いま...
実は、磁場 $\bm{B}$ を掛けると回転できます。
磁場 $\bm{B}$ とスピン $\dfrac{\hbar}{2} \bm{\sigma}$ の...
2×2行列となり、
<tex>
H &= \dfrac{ge}{m} \dfrac{\hbar}{2} \bm{\sigma} \cdot \bm...
&= \dfrac{g\hbar e}{2 m} \bm{\sigma} \cdot \bm{B} \tag{##}
</tex>
ここで、 $g$ はランデのg因子と言い、およそ大きさが2くら...
系の時間発展は、波動関数(スピノール)を $\chi \to \psi(t)$...
<tex>
\psi(t) &= \exp \left( - \dfrac{iHt}{\hbar} \right) \psi(...
&= \exp \left( - \dfrac{ige}{2m} \bm{\sigma} \cdot \bm{B}...
&= \exp \left( - \dfrac{ige|\bm{B}|t}{2m} \sigma_n \right...
\tag{##}
</tex>
式 $(7)$ の二行目と比較して、
<tex>
U(\theta,\phi;\alpha) = \exp \left( - \dfrac{i \alpha}{2}...
\tag{##}
</tex>
でしたから、一秒間に $\alpha = \dfrac{ge|\bm{B}|}{m}$ ラ...
良く言われることですが $ \alpha = 2 \pi$ の回転でスピノー...
位相因子 $e^{-i\pi}=-1$ が掛かるのが、式 $(13)$ の二乗の...
それでは今日はこの辺で。お疲れ様でした。
.. _証明した記事: http://hooktail.sub.jp/quantum/spinRota...
.. _スピノールの記事: http://eman-physics.net/quantum/spi...
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-03-18@@
@@category:量子力学@@
@@id:spinRotation@@
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