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二階のテンソルの回転変換
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この記事では、座標系を角 $\theta$ だけ回転させたとき、二...
.. image:: Joh-XYRot1.gif
このとき、座標成分の変換は次式に従います。
<tex>
\Big( \begin{array}{c}
x' \\
y' \\
\end{array}
\Big) =
\Big( \begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{array}
\Big)
\Big( \begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\Big) \tag{1}
</tex>
最初の予告しておきますが、一階のテンソルであるベクトルは...
.. [*] 物理学で応用上、座標を回転変換させる場合に、二階の...
複素数を使った回転の表現
-----------------------------------------------------------
複素数を使って、式 $(1)$ と同じ変換を次のように表わすこと...
<tex>
x'+iy' = e^{-i\theta}(x+iy) \tag{2}
</tex>
見ただけでピンと来ない人は、まず、式 $(2)$ を実部と虚部に...
<tex>
x'-iy' = e^{i\theta}(x-iy) \tag{3}
</tex>
式 $(3)$ と式 $(2)$ は、どちらも式 $(1)$ と同じ変換式を表...
<tex>
A_{x+y} = A_{x}+iA_{y}
</tex>
<tex>
A_{x-y} = A_{x}-iA_{y}
</tex>
この表記を用いると、式 $(2)(3)$ は次のように簡単にまとめ...
<tex>
A'_{x\pm y} = e^{\mp i\theta}A_{x\pm y} \tag{4}
</tex>
さて、式 $(4)$ と同じ変換に従うベクトル $B'_{x\pm y} = e^...
<tex>
A'_{\alpha} B'_{\beta}= e^{-i(\alpha + \beta)\theta}A_{\a...
</tex>
ここまではベクトルの回転変換の話でした。式 $(5)$ から、幾...
<tex>
A'_{\pm} B'_{\mp}= A_{\pm}B_{\mp} \tag{6-1}
</tex>
実際に、式 $(6-1)$ を実部と虚部に分けると次式を得ます。(...
<tex>
A'_{x} B'_{x}+A'_{y} B'_{y}= A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y} \tag{6...
</tex>
<tex>
A'_{x} B'_{y}-A'_{y} B'_{x}= A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x} \tag{6...
</tex>
さて、テンソルの議論に使うため、式 $(5)(6)$ の符号につい...
<tex>
A_{+} = A_{x}+iA_{y}
</tex>
<tex>
A_{-} = A_{x}-iA_{y}
</tex>
<tex>
A_{0} = A_{z}
</tex>
この略記法を使って、積 $A_{\alpha}B_{\alpha}$ を場合分け...
<tex>
A_{0} B_{0}= A_{z}B_{z} \tag{7-1}
</tex>
<tex>
A_{+} B_{+}= (A_{x}B_{x}-A_{y}B_{y})+i(A_{x}B_{y}+A_{y}B_...
</tex>
<tex>
A_{-} B_{-}= (A_{x}B_{x}-A_{y}B_{y})-i(A_{x}B_{y}+A_{y}B_...
</tex>
<tex>
A_{0} B_{+}= A_{z}B_{x}+iA_{z}B_{y} \tag{7-4}
</tex>
<tex>
A_{0} B_{-}= A_{z}B_{x}-iA_{z}B_{y} \tag{7-5}
</tex>
<tex>
A_{+} B_{0}= A_{x}B_{z}+iA_{y}B_{z} \tag{7-6}
</tex>
<tex>
A_{-} B_{0}= A_{x}B_{z}-iA_{y}B_{z} \tag{7-7}
</tex>
<tex>
A_{+} B_{-}= (A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y})-i(A_{x}B_{y}-A_{y}B_...
</tex>
<tex>
A_{-} B_{+}= (A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y})+i(A_{x}B_{y}-A_{y}B_...
</tex>
二階のテンソルの変換式
---------------------------------------------------------...
さきほど複素ベクトルの積の変換式を場合分けしましたが、 $P...
<tex>
P_{00}= P_{zz} \tag{8-1}
</tex>
<tex>
P_{++}= (P_{xx}-P_{yy})+i(P_{xy}+P_{yx}) \tag{8-2}
</tex>
<tex>
P_{--}= (P_{xx}-P_{yy})-i(P_{xy}+P_{yx}) \tag{8-3}
</tex>
<tex>
P_{0+}= P_{zx}+iP_{zy} \tag{8-4}
</tex>
<tex>
P_{0-}= P_{zx}-iP_{zy} \tag{8-5}
</tex>
<tex>
P_{+0}= P_{xz}+iP_{yz} \tag{8-6}
</tex>
<tex>
P_{-0}= P_{xz}-iP_{yz} \tag{8-7}
</tex>
<tex>
P_{+-}= (P_{xx}+P_{yy})-i(P_{xy}-P_{yx}) \tag{8-8}
</tex>
<tex>
P_{-+}= (P_{xx}+P_{yy})+i(P_{xy}-P_{yx}) \tag{8-9}
</tex>
さらに、個々の成分( $P_{xx}$ , $P_{yz}$ 等々)は、座標の...
<tex>
P'_{zz}= P_{zz} \tag{9-1}
</tex>
<tex>
P'_{xx}-P'_{yy}= (P_{xx}-P_{yy})\cos 2\theta + (P_{xy}+P_...
</tex>
<tex>
P'_{xy}+P'_{yx}=-(P_{xx}-P_{yy})\sin 2\theta + (P_{xy}+P_...
</tex>
<tex>
P'_{zx}= P_{zx}\cos \theta + P_{zy} \sin \theta \tag{9-4}
</tex>
<tex>
P'_{zy}= -P_{zx}\sin \theta + P_{zy} \cos \theta \tag{9-5}
</tex>
<tex>
P'_{xz}= P_{xz}\cos \theta + P_{yz} \sin \theta \tag{9-6}
</tex>
<tex>
P'_{yz}= -P_{xz}\sin \theta + P_{yz} \cos \theta \tag{9-7}
</tex>
<tex>
P'_{xx}+P'_{yy} = P_{xx}+P_{yy} \tag{9-8}
</tex>
<tex>
P'_{xy}-P'_{yx} = P_{xy}-P_{yx} \tag{9-9}
</tex>
これらを連立して、 $P_{xx},P_{yy},P_{xy},P_{yx}$ の変換式...
<tex>
P'_{xx}= \frac{1}{2}(P_{xx}-P_{yy})\cos 2\theta + \frac{1...
</tex>
<tex>
P'_{yy}= -\frac{1}{2}(P_{xx}-P_{yy})\cos 2\theta +\frac{1...
</tex>
<tex>
P'_{xy}=-\frac{1}{2}(P_{xx}-P_{yy})\sin 2\theta +\frac{1}...
</tex>
<tex>
P'_{yx}=\frac{1}{2}(P_{xx}-P_{yy})\sin 2\theta +\frac{1}{...
</tex>
対称テンソルの場合
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
特に対称テンソルの場合、 $P_{xy}=P_{yx},P_{xz}=P_{zx},P_{...
<tex>
P'_{xx}= \frac{(P_{xx}-P_{yy})}{2}\cos 2\theta + \frac{P_...
</tex>
<tex>
P'_{yy}= -\frac{(P_{xx}-P_{yy})}{2}\cos 2\theta +\frac{P_...
</tex>
<tex>
P'_{xy}=-\frac{(P_{xx}-P_{yy})}{2}\sin 2\theta + P_{xy} \...
</tex>
材料力学の 応力2_ に、この変換式を導く別の方法を紹介して...
.. _応力2:
.. _ ベクトルからテンソルを作る: http://www12.plala.or.j...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorTrans@@
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二階のテンソルの回転変換
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この記事では、座標系を角 $\theta$ だけ回転させたとき、二...
.. image:: Joh-XYRot1.gif
このとき、座標成分の変換は次式に従います。
<tex>
\Big( \begin{array}{c}
x' \\
y' \\
\end{array}
\Big) =
\Big( \begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{array}
\Big)
\Big( \begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\Big) \tag{1}
</tex>
最初の予告しておきますが、一階のテンソルであるベクトルは...
.. [*] 物理学で応用上、座標を回転変換させる場合に、二階の...
複素数を使った回転の表現
-----------------------------------------------------------
複素数を使って、式 $(1)$ と同じ変換を次のように表わすこと...
<tex>
x'+iy' = e^{-i\theta}(x+iy) \tag{2}
</tex>
見ただけでピンと来ない人は、まず、式 $(2)$ を実部と虚部に...
<tex>
x'-iy' = e^{i\theta}(x-iy) \tag{3}
</tex>
式 $(3)$ と式 $(2)$ は、どちらも式 $(1)$ と同じ変換式を表...
<tex>
A_{x+y} = A_{x}+iA_{y}
</tex>
<tex>
A_{x-y} = A_{x}-iA_{y}
</tex>
この表記を用いると、式 $(2)(3)$ は次のように簡単にまとめ...
<tex>
A'_{x\pm y} = e^{\mp i\theta}A_{x\pm y} \tag{4}
</tex>
さて、式 $(4)$ と同じ変換に従うベクトル $B'_{x\pm y} = e^...
<tex>
A'_{\alpha} B'_{\beta}= e^{-i(\alpha + \beta)\theta}A_{\a...
</tex>
ここまではベクトルの回転変換の話でした。式 $(5)$ から、幾...
<tex>
A'_{\pm} B'_{\mp}= A_{\pm}B_{\mp} \tag{6-1}
</tex>
実際に、式 $(6-1)$ を実部と虚部に分けると次式を得ます。(...
<tex>
A'_{x} B'_{x}+A'_{y} B'_{y}= A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y} \tag{6...
</tex>
<tex>
A'_{x} B'_{y}-A'_{y} B'_{x}= A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x} \tag{6...
</tex>
さて、テンソルの議論に使うため、式 $(5)(6)$ の符号につい...
<tex>
A_{+} = A_{x}+iA_{y}
</tex>
<tex>
A_{-} = A_{x}-iA_{y}
</tex>
<tex>
A_{0} = A_{z}
</tex>
この略記法を使って、積 $A_{\alpha}B_{\alpha}$ を場合分け...
<tex>
A_{0} B_{0}= A_{z}B_{z} \tag{7-1}
</tex>
<tex>
A_{+} B_{+}= (A_{x}B_{x}-A_{y}B_{y})+i(A_{x}B_{y}+A_{y}B_...
</tex>
<tex>
A_{-} B_{-}= (A_{x}B_{x}-A_{y}B_{y})-i(A_{x}B_{y}+A_{y}B_...
</tex>
<tex>
A_{0} B_{+}= A_{z}B_{x}+iA_{z}B_{y} \tag{7-4}
</tex>
<tex>
A_{0} B_{-}= A_{z}B_{x}-iA_{z}B_{y} \tag{7-5}
</tex>
<tex>
A_{+} B_{0}= A_{x}B_{z}+iA_{y}B_{z} \tag{7-6}
</tex>
<tex>
A_{-} B_{0}= A_{x}B_{z}-iA_{y}B_{z} \tag{7-7}
</tex>
<tex>
A_{+} B_{-}= (A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y})-i(A_{x}B_{y}-A_{y}B_...
</tex>
<tex>
A_{-} B_{+}= (A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y})+i(A_{x}B_{y}-A_{y}B_...
</tex>
二階のテンソルの変換式
---------------------------------------------------------...
さきほど複素ベクトルの積の変換式を場合分けしましたが、 $P...
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P_{00}= P_{zz} \tag{8-1}
</tex>
<tex>
P_{++}= (P_{xx}-P_{yy})+i(P_{xy}+P_{yx}) \tag{8-2}
</tex>
<tex>
P_{--}= (P_{xx}-P_{yy})-i(P_{xy}+P_{yx}) \tag{8-3}
</tex>
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P_{0+}= P_{zx}+iP_{zy} \tag{8-4}
</tex>
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P_{0-}= P_{zx}-iP_{zy} \tag{8-5}
</tex>
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P_{+0}= P_{xz}+iP_{yz} \tag{8-6}
</tex>
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P_{-0}= P_{xz}-iP_{yz} \tag{8-7}
</tex>
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P_{+-}= (P_{xx}+P_{yy})-i(P_{xy}-P_{yx}) \tag{8-8}
</tex>
<tex>
P_{-+}= (P_{xx}+P_{yy})+i(P_{xy}-P_{yx}) \tag{8-9}
</tex>
さらに、個々の成分( $P_{xx}$ , $P_{yz}$ 等々)は、座標の...
<tex>
P'_{zz}= P_{zz} \tag{9-1}
</tex>
<tex>
P'_{xx}-P'_{yy}= (P_{xx}-P_{yy})\cos 2\theta + (P_{xy}+P_...
</tex>
<tex>
P'_{xy}+P'_{yx}=-(P_{xx}-P_{yy})\sin 2\theta + (P_{xy}+P_...
</tex>
<tex>
P'_{zx}= P_{zx}\cos \theta + P_{zy} \sin \theta \tag{9-4}
</tex>
<tex>
P'_{zy}= -P_{zx}\sin \theta + P_{zy} \cos \theta \tag{9-5}
</tex>
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P'_{xz}= P_{xz}\cos \theta + P_{yz} \sin \theta \tag{9-6}
</tex>
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P'_{yz}= -P_{xz}\sin \theta + P_{yz} \cos \theta \tag{9-7}
</tex>
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P'_{xx}+P'_{yy} = P_{xx}+P_{yy} \tag{9-8}
</tex>
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P'_{xy}-P'_{yx} = P_{xy}-P_{yx} \tag{9-9}
</tex>
これらを連立して、 $P_{xx},P_{yy},P_{xy},P_{yx}$ の変換式...
<tex>
P'_{xx}= \frac{1}{2}(P_{xx}-P_{yy})\cos 2\theta + \frac{1...
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P'_{yy}= -\frac{1}{2}(P_{xx}-P_{yy})\cos 2\theta +\frac{1...
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P'_{xy}=-\frac{1}{2}(P_{xx}-P_{yy})\sin 2\theta +\frac{1}...
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P'_{yx}=\frac{1}{2}(P_{xx}-P_{yy})\sin 2\theta +\frac{1}{...
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対称テンソルの場合
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特に対称テンソルの場合、 $P_{xy}=P_{yx},P_{xz}=P_{zx},P_{...
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P'_{xx}= \frac{(P_{xx}-P_{yy})}{2}\cos 2\theta + \frac{P_...
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P'_{yy}= -\frac{(P_{xx}-P_{yy})}{2}\cos 2\theta +\frac{P_...
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P'_{xy}=-\frac{(P_{xx}-P_{yy})}{2}\sin 2\theta + P_{xy} \...
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材料力学の 応力2_ に、この変換式を導く別の方法を紹介して...
.. _応力2:
.. _ ベクトルからテンソルを作る: http://www12.plala.or.j...
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@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorTrans@@
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