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内積と双対空間
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ベクトルの内積を、ベクトル空間や双対空間といった代数的な...
<tex>
\bm{x} \cdot \bm{y} = \lambda \tag{1}
</tex>
内積は二つのベクトルに関して対称ですが、ここで仮に内積と...
<tex>
{\phi}_{x}( \bm{y} )= \lambda \tag{2}
</tex>
ちょっと見方を変えてみただけで、式 $(2)$ の意味は式 $(1)$...
<tex>
{\phi}_{x}(\alpha \bm{y_{1}} + \beta \bm{y_{2}} )= \alpha...
</tex>
この形を見てピンと来て欲しいところですが、 ${\phi}_{x}$ ...
ベクトル $\bm{x}$ に対して $\phi_{x}$ は一つに決まります...
<tex>
\Phi \ : \ \bm{x} \in V \ \longmapsto \ \Phi (\bm{x}) = \...
</tex>
式 $(1)$ を $\bm{x}$ に対する関数 ${\psi}_{y}(\bm{x})=\la...
.. important::
内積は線形汎関数だと見ることもできる。
この写像、 $\Phi$ は一体どのような種類の写像なのかと言え...
.. admonition:: theorem
$\Phi$ は同型写像 $V \longmapsto V^{*}$ です。
.. admonition:: proof
いま示したいのは『 $\Phi (\bm{x_{1}})=\Phi (\bm{x_{2}}) ...
ここまでの議論を整理しておきましょう。最初は、ベクトル空...
.. important::
内積は、ベクトル空間 $V$ とその双対空間 $V^{*}$ の間に同...
内積の意味は、今までにも色々な記事で議論してきました。図...
実際に計算してみる
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
『内積が同型写像を与える』とはどういうことか、実際に計算...
また、基底同士の内積は $\bm{e_{i}}\cdot \bm{e_{j}}=g_{ij}...
<tex>
\bm{A} = A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+...+A^{n}\bm{e_{...
</tex>
このとき、双対基底の性質 $\bm{e_{i}} \cdot \bm{e^{j}}=\de...
<tex>
A^{i} = \bm{A} \cdot \bm{e^{i}} \tag{5}
</tex>
一方、 $\bm{A}$ と $\bm{e_{i}}$ の内積を考えると、計量テ...
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{e_{i}} &= A^{1}(\bm{e_{1}} \cdot \bm{e_{...
&= A^{1}g_{1i} + A^{2}g_{2i} + ...+A^{n}g_{ni} \\
&= g_{ij}A^{j} \tag{6}
</tex>
式 $(5)(6)$ より次式を得ます。
<tex>
(\bm{A} \cdot \bm{e_{i}}) = g_{ij}(\bm{A} \cdot \bm{e^{j}...
</tex>
なんだか面白い形に帰着しました。 $\bm{A}$ は任意の関数で...
<tex>
( \bm{e_{i}} \cdot \ \ = (g_{ij}\bm{e^{j}}\cdot \ \ \t...
</tex>
前セクションで、ベクトル $\bm{x}$ を $\bm{x}$ との内積 $\...
<tex>
\Phi \ : \ V \ni \bm{e_{i}} \ \ \longmapsto \ \ g_{ij}\bm...
</tex>
ベクトル空間 $V$ から双対空間 $V^{*}$ への写像という文脈...
<tex>
\Phi^{-1} \ : \ V^{*} \ni \bm{e^{i}} \ \ \longmapsto \ \ ...
</tex>
実は、式 $(9)(10)$ は『添字の上げ下げ』として知られる操作...
.. important::
計量テンソルで添字を上げたり下げたりするのは、 $V$ と $V...
上下に分かれた添字のシステムがよく出来ていることをだんだ...
.. _双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _ベクトル空間と線形写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homomo...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _計量テンソルとヤコビアン: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: InnerdotDualspace@@
終了行:
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内積と双対空間
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ベクトルの内積を、ベクトル空間や双対空間といった代数的な...
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\bm{x} \cdot \bm{y} = \lambda \tag{1}
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内積は二つのベクトルに関して対称ですが、ここで仮に内積と...
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{\phi}_{x}( \bm{y} )= \lambda \tag{2}
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ちょっと見方を変えてみただけで、式 $(2)$ の意味は式 $(1)$...
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{\phi}_{x}(\alpha \bm{y_{1}} + \beta \bm{y_{2}} )= \alpha...
</tex>
この形を見てピンと来て欲しいところですが、 ${\phi}_{x}$ ...
ベクトル $\bm{x}$ に対して $\phi_{x}$ は一つに決まります...
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\Phi \ : \ \bm{x} \in V \ \longmapsto \ \Phi (\bm{x}) = \...
</tex>
式 $(1)$ を $\bm{x}$ に対する関数 ${\psi}_{y}(\bm{x})=\la...
.. important::
内積は線形汎関数だと見ることもできる。
この写像、 $\Phi$ は一体どのような種類の写像なのかと言え...
.. admonition:: theorem
$\Phi$ は同型写像 $V \longmapsto V^{*}$ です。
.. admonition:: proof
いま示したいのは『 $\Phi (\bm{x_{1}})=\Phi (\bm{x_{2}}) ...
ここまでの議論を整理しておきましょう。最初は、ベクトル空...
.. important::
内積は、ベクトル空間 $V$ とその双対空間 $V^{*}$ の間に同...
内積の意味は、今までにも色々な記事で議論してきました。図...
実際に計算してみる
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『内積が同型写像を与える』とはどういうことか、実際に計算...
また、基底同士の内積は $\bm{e_{i}}\cdot \bm{e_{j}}=g_{ij}...
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\bm{A} = A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+...+A^{n}\bm{e_{...
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このとき、双対基底の性質 $\bm{e_{i}} \cdot \bm{e^{j}}=\de...
<tex>
A^{i} = \bm{A} \cdot \bm{e^{i}} \tag{5}
</tex>
一方、 $\bm{A}$ と $\bm{e_{i}}$ の内積を考えると、計量テ...
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{e_{i}} &= A^{1}(\bm{e_{1}} \cdot \bm{e_{...
&= A^{1}g_{1i} + A^{2}g_{2i} + ...+A^{n}g_{ni} \\
&= g_{ij}A^{j} \tag{6}
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式 $(5)(6)$ より次式を得ます。
<tex>
(\bm{A} \cdot \bm{e_{i}}) = g_{ij}(\bm{A} \cdot \bm{e^{j}...
</tex>
なんだか面白い形に帰着しました。 $\bm{A}$ は任意の関数で...
<tex>
( \bm{e_{i}} \cdot \ \ = (g_{ij}\bm{e^{j}}\cdot \ \ \t...
</tex>
前セクションで、ベクトル $\bm{x}$ を $\bm{x}$ との内積 $\...
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\Phi \ : \ V \ni \bm{e_{i}} \ \ \longmapsto \ \ g_{ij}\bm...
</tex>
ベクトル空間 $V$ から双対空間 $V^{*}$ への写像という文脈...
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\Phi^{-1} \ : \ V^{*} \ni \bm{e^{i}} \ \ \longmapsto \ \ ...
</tex>
実は、式 $(9)(10)$ は『添字の上げ下げ』として知られる操作...
.. important::
計量テンソルで添字を上げたり下げたりするのは、 $V$ と $V...
上下に分かれた添字のシステムがよく出来ていることをだんだ...
.. _双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _ベクトル空間と線形写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homomo...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _計量テンソルとヤコビアン: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: InnerdotDualspace@@
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