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#rst2hooktail_source
===================
凸関数の性質
===================
熱力学や解析力学で重要となるLegendre変換への準備です.Leg...
保存します.
一変数の凸関数
================
一変数の凸関数の定義から凸関数の様々な性質を見ていきたい...
のもとで多変数の場合にも成り立ちます.
実数上の適当な閉区間 $ [a,b] $ で定義された下に凸な関数 $...
任意の $ t\in (0,1) $ に対して
<tex>
f((1-t)x+ty)\le (1-t)f(x)+tf(y)
</tex>
が成り立つことです.ここでこの式の不等号が $ \le $ ではな...
言うことがあります.また,不等号が反対の不等式を満たす関...
上に凸なら $ -f(x) $ は下に凸ですから,以下は下に凸な関数...
まず,凸関数の大切な性質をあげておきます.
1.閉区間 $ [a,b] $ 上の凸関数は開区間 $ (a,b) $ 上Lipschi...
2.閉区間 $ [a,b] $ 上の凸関数は開区間 $ (a,b) $ 上の任意...
<tex>
f\;'(x+0):=\lim_{\delta\to +0}{f(x+\delta)-f(x)\over \del...
</tex>
が存在する.
3.ここで,右側微係数と左側微係数に関して次の性質が成り立...
<tex>
f'(x-0)\le f'(x+0)\le f'(y-0)\le f'(y+0)
</tex>
がなりたつ.
以上の性質は,グラフを見てみたらとても分かりやすい結果で...
まず,次のセクションで上の証明に非常に便利な不等式を得る...
凸関数の基本的な不等式
========================
それでは,(1)-(3)の性質を証明するときにとてもお世話になる...
凸な関数であるとします.
任意の $ \alpha<\gamma \in (a,b) $ に対して, $ f $ の凸...
<tex>
f((1-t)\alpha+t\gamma)\le (1-t)f(\alpha)+tf(\gamma)\quad
\Leftrightarrow\quad {f(\alpha+t(\gamma-\alpha))-f(\alpha...
</tex>
が成り立ちます.(両辺から $f(\alpha)$ を引いて, $t(\gamm...
ここで, $ \beta=\alpha+t(\gamma-\alpha)\in (a,b) $ と置...
<tex>
{f(\beta)-f(\alpha)\over \beta-\alpha}\le{f(\gamma)-f(\al...
</tex>
を得ます.同様にして, $ \alpha<\beta<\gamma\in[a,b] $ に...
<tex>
{f(\beta)-f(\alpha)\over \beta-\alpha}\le{f(\gamma)-f(\al...
</tex>
が成り立ちます.これで証明の準備が整いましたから,次のセ...
凸関数の性質(1),(2),(3)の証明
=================================
さて,(1),(2),(3)の関係を証明してしまいましょう.
(1)前のセクションで示した不等式から,
任意の $ \beta\in(a,b) $ をむ閉区間 $ [\alpha,\gamma] $ ...
<tex>
\left|{f(x)-f(\beta)\over x-\beta}\right|\le
\max\left\{\left|{f(\beta)-f(\alpha)\over \beta-\alpha}\r...
</tex>
が成り立ちます.よって,
<tex>
M=\max\left\{\left|{f(\beta)-f(\alpha)\over\beta-\alpha}\...
\left|{f(\gamma)-f(\beta)\over \gamma-\beta}\right|\right\}
</tex>
と置けば,
<tex>
|f(x)-f(\beta)|\le M|x-\beta|
</tex>
となります.つまり,凸関数はLipschitz連続であることが分か...
(2)さらに, $\beta\not =x\in [\alpha,\gamma]$ に対して, ...
不等式 $ -M\le F(x)\le M $ が成り立ちます. $\alpha\le x<...
増加して, $ \beta<x\le \gamma $ でも $ F(x) $ は単調に増...
左極限と右極限
<tex>
f\;'(\beta-0):=\lim_{x\to \beta-0}F(x),f\;'(\beta+0):=\li...
</tex>
がそれぞれ存在することがわかります.(有界な単調関数の極限...
(3)さらに,前のセクションで示した不等式と上の結果を合わせ...
<tex>
-M\le f\;'(x-0)\le f\;'(x+0)\le M
</tex>
が成り立ちます.なお,真ん中の不等式の等号成立条件は $ f ...
また $\forall \alpha<\forall \beta\in [a,b] $ に対して
<tex>
f\;'(\alpha+0)\le f\;'(\beta-0)
</tex>
です.等号成立条件は $ f $ が区間 $ [\alpha,\beta] $ で線...
@@author:佑弥@@
@@category:解析力学@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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凸関数の性質
===================
熱力学や解析力学で重要となるLegendre変換への準備です.Leg...
保存します.
一変数の凸関数
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一変数の凸関数の定義から凸関数の様々な性質を見ていきたい...
のもとで多変数の場合にも成り立ちます.
実数上の適当な閉区間 $ [a,b] $ で定義された下に凸な関数 $...
任意の $ t\in (0,1) $ に対して
<tex>
f((1-t)x+ty)\le (1-t)f(x)+tf(y)
</tex>
が成り立つことです.ここでこの式の不等号が $ \le $ ではな...
言うことがあります.また,不等号が反対の不等式を満たす関...
上に凸なら $ -f(x) $ は下に凸ですから,以下は下に凸な関数...
まず,凸関数の大切な性質をあげておきます.
1.閉区間 $ [a,b] $ 上の凸関数は開区間 $ (a,b) $ 上Lipschi...
2.閉区間 $ [a,b] $ 上の凸関数は開区間 $ (a,b) $ 上の任意...
<tex>
f\;'(x+0):=\lim_{\delta\to +0}{f(x+\delta)-f(x)\over \del...
</tex>
が存在する.
3.ここで,右側微係数と左側微係数に関して次の性質が成り立...
<tex>
f'(x-0)\le f'(x+0)\le f'(y-0)\le f'(y+0)
</tex>
がなりたつ.
以上の性質は,グラフを見てみたらとても分かりやすい結果で...
まず,次のセクションで上の証明に非常に便利な不等式を得る...
凸関数の基本的な不等式
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それでは,(1)-(3)の性質を証明するときにとてもお世話になる...
凸な関数であるとします.
任意の $ \alpha<\gamma \in (a,b) $ に対して, $ f $ の凸...
<tex>
f((1-t)\alpha+t\gamma)\le (1-t)f(\alpha)+tf(\gamma)\quad
\Leftrightarrow\quad {f(\alpha+t(\gamma-\alpha))-f(\alpha...
</tex>
が成り立ちます.(両辺から $f(\alpha)$ を引いて, $t(\gamm...
ここで, $ \beta=\alpha+t(\gamma-\alpha)\in (a,b) $ と置...
<tex>
{f(\beta)-f(\alpha)\over \beta-\alpha}\le{f(\gamma)-f(\al...
</tex>
を得ます.同様にして, $ \alpha<\beta<\gamma\in[a,b] $ に...
<tex>
{f(\beta)-f(\alpha)\over \beta-\alpha}\le{f(\gamma)-f(\al...
</tex>
が成り立ちます.これで証明の準備が整いましたから,次のセ...
凸関数の性質(1),(2),(3)の証明
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さて,(1),(2),(3)の関係を証明してしまいましょう.
(1)前のセクションで示した不等式から,
任意の $ \beta\in(a,b) $ をむ閉区間 $ [\alpha,\gamma] $ ...
<tex>
\left|{f(x)-f(\beta)\over x-\beta}\right|\le
\max\left\{\left|{f(\beta)-f(\alpha)\over \beta-\alpha}\r...
</tex>
が成り立ちます.よって,
<tex>
M=\max\left\{\left|{f(\beta)-f(\alpha)\over\beta-\alpha}\...
\left|{f(\gamma)-f(\beta)\over \gamma-\beta}\right|\right\}
</tex>
と置けば,
<tex>
|f(x)-f(\beta)|\le M|x-\beta|
</tex>
となります.つまり,凸関数はLipschitz連続であることが分か...
(2)さらに, $\beta\not =x\in [\alpha,\gamma]$ に対して, ...
不等式 $ -M\le F(x)\le M $ が成り立ちます. $\alpha\le x<...
増加して, $ \beta<x\le \gamma $ でも $ F(x) $ は単調に増...
左極限と右極限
<tex>
f\;'(\beta-0):=\lim_{x\to \beta-0}F(x),f\;'(\beta+0):=\li...
</tex>
がそれぞれ存在することがわかります.(有界な単調関数の極限...
(3)さらに,前のセクションで示した不等式と上の結果を合わせ...
<tex>
-M\le f\;'(x-0)\le f\;'(x+0)\le M
</tex>
が成り立ちます.なお,真ん中の不等式の等号成立条件は $ f ...
また $\forall \alpha<\forall \beta\in [a,b] $ に対して
<tex>
f\;'(\alpha+0)\le f\;'(\beta-0)
</tex>
です.等号成立条件は $ f $ が区間 $ [\alpha,\beta] $ で線...
@@author:佑弥@@
@@category:解析力学@@
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