記事ソース/天文単位(AU)を測る
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
===============================
天文単位(AU)を測る
===============================
ここでは天文単位(AU)の測り方について書いています。ケプラ...
-----------------------
天文単位とは
-----------------------
天文単位とは、地球と太陽の間の平均距離を 1 とした単位です...
.. image:: au.png
.. _天文単位: http://www12.plala.or.jp/ksp/astronomy/au/
------------------------
天文単位の測定
------------------------
さて、天文単位が「太陽と地球の間の距離」を表すことはわか...
理科年表から具体的な数字をもってきてみましょう。
.. important::
$1\rm{AU} = 1.49597870 \times 10^{11} \rm{m}$
太陽と地球の間の距離が数km の精度で決まっているなんてびっ...
いったいどうやって求められているのでしょうか?
.. [*] ちなみに最新の論文ではさらに有効数字が多くて 数十m...
.. _wikipedia: http://www.wikipedia.org/
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ガウスによる定義
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
太陽と地球の間の平均距離が上に書いたような精度で求まるの...
求まるとしたらどうやって求めているのでしょうか?
1 天文単位は最初 C.F.Gauss さんによって地球-太陽間の平均...
軌道長半径は ケプラーの第三法則 を使って求めることができ...
ケプラーの第三法則は次のようなものでした。
<tex>
(a_i)^3\left(\frac{2\pi}{P_i}\right)^2 = G M_{\odot} \tag...
</tex>
ここで $a_i$ は太陽系 $i$ 番目の惑星の軌道長半径、 $P_i$ ...
$G$ は重力定数で、 $M_{\odot}$ は太陽質量を表します。
いま、求めたいのは地球-太陽間の距離ですから $a_3$ の値で...
$P_i$ は直接測定することができます(地球の軌道周期は 365日...
太陽質量 $M_{\odot}$ は直接求めることができないのでこれも...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
測定するぞ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
さて、ところでレーダー技術の発達により地球と他の惑星(金星...
ここでは金星までの距離がかなり正確にわかるものとして話を...
レーダー技術は大雑把に言うと、地球から金星に向けて光を発...
地球から金星に向けて光を発して、反射して帰ってくるまでの...
これを測定するわけです。
.. figure:: CO-astroMeasure3.png
図2. レーダーによる地球と金星の間の距離測定(概念図)
光の速さ、つまり光速 $c$ は一定値をとることが知られている...
<tex>
a_3 - a_2 = \frac{1}{2}ct \tag{#def(a3-a2)}
</tex>
ここで $\frac{1}{2}$ という係数がつくのは $t$ が往復の時...
式(#ref(kepler))から、地球・金星のそれぞれについてケプラ...
<tex>
(a_2)^3 \left( \frac{2\pi}{P_2} \right)^2 = G M_{\odot} \...
</tex>
<tex>
(a_3)^3 \left( \frac{2\pi}{P_3} \right)^2 = G M_{\odot} \...
</tex>
が成り立ちます。
さて、式(#ref(a3-a2)), (#ref(keplerMerc)), (#ref(keplerEa...
式(#ref(keplerMerc))と(#ref(keplerEarth))を連立すると、次...
<tex>
a_2 = a_3 \left( \frac{P_2}{P_3} \right)^{\frac{2}{3}}
</tex>
これを式(#ref(a3-a2))に代入すると、
<tex>
a_3 - a_3 \left( \frac{P_2}{P_3} \right)^{\frac{2}{3}} = ...
</tex>
となり、これを $a_3$ について整理してやると
<tex>
a_3 = \frac{ct}{2\left(1-\left(\frac{P_2}{P_3}\right)^{\f...
</tex>
となり、求めたかった $a_3$ がすべて測定可能な量で表すこと...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
実際の値を代入しよう
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
式(#ref(au)) に実際の値を代入してみることにしましょう。
その前に次の図を見てみてください。
.. figure:: CO-astroMeasure1.png
E.M.Standish, Proceedings of the International Astron...
これは上の方法で地球と金星の間の距離を測定したときの誤差...
1960年代の測定では誤差が $\pm 10\rm{km}$ ほどありますが、...
これならば最初にあげた精度を達成できそうですね。
$t$ は観測データが公開されています。一部をお見せしましょ...
.. image:: CO-astroMeasure2.png
左から 7 列目に、光が往復するのにかかった時間がミリ秒単位...
これくらいの精度で計れるならば、地球-金星間の距離が $< 1 ...
```````````````````````
よし、代入だ。
```````````````````````
では実際に観測されている値を (#ref(au)) に代入してみまし...
理科年表によれば $P_2$ は $0.61521$ 太陽年、 $P_3$ は $1....
ここでは $P_2/P_3$ の比が欲しいだけなので単位は太陽年のま...
$t$ については先ほどのデータから得られますが、地球と金星...
位置関係を考慮した補正が必要です。
補正は非常に複雑なのでここではそれをやらずに次のような近...
地球と金星の軌道をともに円軌道と仮定するとお互いが半径の...
`データ`_ で一番小さな値は $t = 268217738 \ \rm{\mu s} = ...
光速 $c$ は $c = 2.99792458 \times 10^8 \ \rm{m}$ です。
これらを代入すると $a_3$ の値はだいたい
<tex>
a_3 = 1.4532 \times 10^{11} \rm{m}
</tex>
となります。大雑把な近似のせいで理科年表に書かれている値...
.. [*] ここでいう光は目に見える「可視光」ではなくて「電波...
.. [*] 全部を見たい場合は `NASA JPL のここ`_ に公開されて...
.. # _`ケプラーの第三法則`: http://www12.plala.or.jp/ksp/
.. _`NASA JPL のここ`: http://ssd.jpl.nasa.gov/plan-eph-d...
.. _`データ`: http://ssd.jpl.nasa.gov/plan-eph-data/golds...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
問い
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
上では太陽-地球間の軌道長半径を求めましたが、その結果を使...
ただし今回はより精確な理科年表の値を使うことにしましょう。
その際に有効数字がどうなるかも、注意してください。
-------------------------------
IAU 1976 の定義
-------------------------------
実は、現在では天文単位(AU)は太陽-地球間の距離というように...
国際天文学連合(IAU)によって、1976年に形式的に次のように定...
.. important::
質量を持たない粒子が太陽のまわりを完全な円軌道で $\fr...
ここで $k$ はガウス定数と呼ばれるもので、厳密に 0.017...
@@reference: neo.jpl.nasa.gov/glossary/au.html, NASA@@
@@author: CO@@
@@accept: 2005-12-11@@
@@category: 天文学@@
@@id: astroMeasure@@
終了行:
#rst2hooktail_source
===============================
天文単位(AU)を測る
===============================
ここでは天文単位(AU)の測り方について書いています。ケプラ...
-----------------------
天文単位とは
-----------------------
天文単位とは、地球と太陽の間の平均距離を 1 とした単位です...
.. image:: au.png
.. _天文単位: http://www12.plala.or.jp/ksp/astronomy/au/
------------------------
天文単位の測定
------------------------
さて、天文単位が「太陽と地球の間の距離」を表すことはわか...
理科年表から具体的な数字をもってきてみましょう。
.. important::
$1\rm{AU} = 1.49597870 \times 10^{11} \rm{m}$
太陽と地球の間の距離が数km の精度で決まっているなんてびっ...
いったいどうやって求められているのでしょうか?
.. [*] ちなみに最新の論文ではさらに有効数字が多くて 数十m...
.. _wikipedia: http://www.wikipedia.org/
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ガウスによる定義
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
太陽と地球の間の平均距離が上に書いたような精度で求まるの...
求まるとしたらどうやって求めているのでしょうか?
1 天文単位は最初 C.F.Gauss さんによって地球-太陽間の平均...
軌道長半径は ケプラーの第三法則 を使って求めることができ...
ケプラーの第三法則は次のようなものでした。
<tex>
(a_i)^3\left(\frac{2\pi}{P_i}\right)^2 = G M_{\odot} \tag...
</tex>
ここで $a_i$ は太陽系 $i$ 番目の惑星の軌道長半径、 $P_i$ ...
$G$ は重力定数で、 $M_{\odot}$ は太陽質量を表します。
いま、求めたいのは地球-太陽間の距離ですから $a_3$ の値で...
$P_i$ は直接測定することができます(地球の軌道周期は 365日...
太陽質量 $M_{\odot}$ は直接求めることができないのでこれも...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
測定するぞ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
さて、ところでレーダー技術の発達により地球と他の惑星(金星...
ここでは金星までの距離がかなり正確にわかるものとして話を...
レーダー技術は大雑把に言うと、地球から金星に向けて光を発...
地球から金星に向けて光を発して、反射して帰ってくるまでの...
これを測定するわけです。
.. figure:: CO-astroMeasure3.png
図2. レーダーによる地球と金星の間の距離測定(概念図)
光の速さ、つまり光速 $c$ は一定値をとることが知られている...
<tex>
a_3 - a_2 = \frac{1}{2}ct \tag{#def(a3-a2)}
</tex>
ここで $\frac{1}{2}$ という係数がつくのは $t$ が往復の時...
式(#ref(kepler))から、地球・金星のそれぞれについてケプラ...
<tex>
(a_2)^3 \left( \frac{2\pi}{P_2} \right)^2 = G M_{\odot} \...
</tex>
<tex>
(a_3)^3 \left( \frac{2\pi}{P_3} \right)^2 = G M_{\odot} \...
</tex>
が成り立ちます。
さて、式(#ref(a3-a2)), (#ref(keplerMerc)), (#ref(keplerEa...
式(#ref(keplerMerc))と(#ref(keplerEarth))を連立すると、次...
<tex>
a_2 = a_3 \left( \frac{P_2}{P_3} \right)^{\frac{2}{3}}
</tex>
これを式(#ref(a3-a2))に代入すると、
<tex>
a_3 - a_3 \left( \frac{P_2}{P_3} \right)^{\frac{2}{3}} = ...
</tex>
となり、これを $a_3$ について整理してやると
<tex>
a_3 = \frac{ct}{2\left(1-\left(\frac{P_2}{P_3}\right)^{\f...
</tex>
となり、求めたかった $a_3$ がすべて測定可能な量で表すこと...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
実際の値を代入しよう
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
式(#ref(au)) に実際の値を代入してみることにしましょう。
その前に次の図を見てみてください。
.. figure:: CO-astroMeasure1.png
E.M.Standish, Proceedings of the International Astron...
これは上の方法で地球と金星の間の距離を測定したときの誤差...
1960年代の測定では誤差が $\pm 10\rm{km}$ ほどありますが、...
これならば最初にあげた精度を達成できそうですね。
$t$ は観測データが公開されています。一部をお見せしましょ...
.. image:: CO-astroMeasure2.png
左から 7 列目に、光が往復するのにかかった時間がミリ秒単位...
これくらいの精度で計れるならば、地球-金星間の距離が $< 1 ...
```````````````````````
よし、代入だ。
```````````````````````
では実際に観測されている値を (#ref(au)) に代入してみまし...
理科年表によれば $P_2$ は $0.61521$ 太陽年、 $P_3$ は $1....
ここでは $P_2/P_3$ の比が欲しいだけなので単位は太陽年のま...
$t$ については先ほどのデータから得られますが、地球と金星...
位置関係を考慮した補正が必要です。
補正は非常に複雑なのでここではそれをやらずに次のような近...
地球と金星の軌道をともに円軌道と仮定するとお互いが半径の...
`データ`_ で一番小さな値は $t = 268217738 \ \rm{\mu s} = ...
光速 $c$ は $c = 2.99792458 \times 10^8 \ \rm{m}$ です。
これらを代入すると $a_3$ の値はだいたい
<tex>
a_3 = 1.4532 \times 10^{11} \rm{m}
</tex>
となります。大雑把な近似のせいで理科年表に書かれている値...
.. [*] ここでいう光は目に見える「可視光」ではなくて「電波...
.. [*] 全部を見たい場合は `NASA JPL のここ`_ に公開されて...
.. # _`ケプラーの第三法則`: http://www12.plala.or.jp/ksp/
.. _`NASA JPL のここ`: http://ssd.jpl.nasa.gov/plan-eph-d...
.. _`データ`: http://ssd.jpl.nasa.gov/plan-eph-data/golds...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
問い
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
上では太陽-地球間の軌道長半径を求めましたが、その結果を使...
ただし今回はより精確な理科年表の値を使うことにしましょう。
その際に有効数字がどうなるかも、注意してください。
-------------------------------
IAU 1976 の定義
-------------------------------
実は、現在では天文単位(AU)は太陽-地球間の距離というように...
国際天文学連合(IAU)によって、1976年に形式的に次のように定...
.. important::
質量を持たない粒子が太陽のまわりを完全な円軌道で $\fr...
ここで $k$ はガウス定数と呼ばれるもので、厳密に 0.017...
@@reference: neo.jpl.nasa.gov/glossary/au.html, NASA@@
@@author: CO@@
@@accept: 2005-12-11@@
@@category: 天文学@@
@@id: astroMeasure@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.