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===========================
抵抗力のある落下運動
===========================
初歩の物理の問題では抵抗を無視することが多いですが,現実...
空気や液体の抵抗力はいろいろと複雑なのですが,一番簡単な...
.. image:: resistdown-1.png
:align: center
質量 $m$ のなにかが落下する運動を考えて,図のように座標軸...
運動方程式
===============
落ちる物体の質量を $m \unit{kg}$ ,重力加速度を $g \unit{...
<tex>
ma = mg - \kappa v
</tex>
となります.加速度を速度の微分形の形で書くと
<tex>
m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = mg-\kappa v
</tex>
というものになります.これは $v(t)$ に関する1階微分方程式...
速度の式を求める
===================
積分して $v =$ の形にしたいので変数を分離します.両辺を $...
<tex>
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g - \frac{\kappa}{m}v
</tex>
ここで右辺を $v$ の係数で括ります.
<tex>
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -\frac{\kappa}{m}\left(...
</tex>
両辺を $\displaystyle \left(v-\frac{mg}{\kappa}\right)$ ...
<tex>
\frac{1}{v-\frac{mg}{\kappa}}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d...
</tex>
両辺に $dt$ を掛けます.
<tex>
\frac{1}{v-\frac{mg}{\kappa}}\mathrm{d}v = -\frac{\kappa}...
</tex>
これで変数が分離された形になりました.両辺を積分します.
<tex>
\int\frac{1}{v-\frac{mg}{\kappa}}\,\mathrm{d}v = -\int\fr...
</tex>
積分公式 $\int\frac{1}{x+z}\,\mathrm{d}x=\log\vert x+a\ve...
<tex>
\log\left\vert v-\frac{mg}{\kappa}\right\vert = -\frac{\k...
</tex>
両辺の指数をとると( `“指数をとる”について <http://www12....
<tex>
\left\vert v-\frac{m}{\kappa}g\right\vert &= e^{-\frac{\k...
v-\frac{mg}{\kappa} &= \pm e^{-\frac{\kappa}{m}t+C_1}\\
&= \pm e^{C_1}e^{-\frac{\kappa}{m}t}
</tex>
ここで $\pm e^{C_1}$ を新たに任意定数 $C_1$ とおくと、
<tex>
v = C_1e^{-\frac{\kappa}{m}t}+\frac{mg}{\kappa}
</tex>
となり,速度の式が分かりました.任意定数 $C_1$ は初期条件...
.. image:: resistdown-2.png
:align: center
のようになるので,最終的に時間に関する項はゼロになり,速...
位置の式を求める
==================
速度の式が分かったので,つぎは位置について求めます.速度 ...
<tex>
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = C_1e^{-\frac{\kappa}{m}...
</tex>
関数 $x(t)$ の1階微分方程式になります.これを解いて $x=$ ...
<tex>
\mathrm{d}x = \left(C_1e^{-\frac{\kappa}{m}t}+\frac{mg}{\...
</tex>
この両辺を積分します.
<tex>
\int\,\mathrm{d}x = \int\left(C_1e^{-\frac{\kappa}{m}t}+\...
</tex>
積分公式 $\int e^{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}e^{ax}+C$ ...
<tex>
x &= \frac{1}{-\frac{\kappa}{m}}C_1e^{-\frac{\kappa}{m}t}...
&= -\frac{m}{\kappa}C_1e^{-\frac{\kappa}{m}t}+\frac{mg}...
</tex>
という位置の式が求まりました.任意定数 $C_2$ も初期条件か...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2004-06-11@@
@@category: 力学@@
@@id: resistdown@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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抵抗力のある落下運動
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初歩の物理の問題では抵抗を無視することが多いですが,現実...
空気や液体の抵抗力はいろいろと複雑なのですが,一番簡単な...
.. image:: resistdown-1.png
:align: center
質量 $m$ のなにかが落下する運動を考えて,図のように座標軸...
運動方程式
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落ちる物体の質量を $m \unit{kg}$ ,重力加速度を $g \unit{...
<tex>
ma = mg - \kappa v
</tex>
となります.加速度を速度の微分形の形で書くと
<tex>
m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = mg-\kappa v
</tex>
というものになります.これは $v(t)$ に関する1階微分方程式...
速度の式を求める
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積分して $v =$ の形にしたいので変数を分離します.両辺を $...
<tex>
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g - \frac{\kappa}{m}v
</tex>
ここで右辺を $v$ の係数で括ります.
<tex>
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -\frac{\kappa}{m}\left(...
</tex>
両辺を $\displaystyle \left(v-\frac{mg}{\kappa}\right)$ ...
<tex>
\frac{1}{v-\frac{mg}{\kappa}}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d...
</tex>
両辺に $dt$ を掛けます.
<tex>
\frac{1}{v-\frac{mg}{\kappa}}\mathrm{d}v = -\frac{\kappa}...
</tex>
これで変数が分離された形になりました.両辺を積分します.
<tex>
\int\frac{1}{v-\frac{mg}{\kappa}}\,\mathrm{d}v = -\int\fr...
</tex>
積分公式 $\int\frac{1}{x+z}\,\mathrm{d}x=\log\vert x+a\ve...
<tex>
\log\left\vert v-\frac{mg}{\kappa}\right\vert = -\frac{\k...
</tex>
両辺の指数をとると( `“指数をとる”について <http://www12....
<tex>
\left\vert v-\frac{m}{\kappa}g\right\vert &= e^{-\frac{\k...
v-\frac{mg}{\kappa} &= \pm e^{-\frac{\kappa}{m}t+C_1}\\
&= \pm e^{C_1}e^{-\frac{\kappa}{m}t}
</tex>
ここで $\pm e^{C_1}$ を新たに任意定数 $C_1$ とおくと、
<tex>
v = C_1e^{-\frac{\kappa}{m}t}+\frac{mg}{\kappa}
</tex>
となり,速度の式が分かりました.任意定数 $C_1$ は初期条件...
.. image:: resistdown-2.png
:align: center
のようになるので,最終的に時間に関する項はゼロになり,速...
位置の式を求める
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速度の式が分かったので,つぎは位置について求めます.速度 ...
<tex>
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = C_1e^{-\frac{\kappa}{m}...
</tex>
関数 $x(t)$ の1階微分方程式になります.これを解いて $x=$ ...
<tex>
\mathrm{d}x = \left(C_1e^{-\frac{\kappa}{m}t}+\frac{mg}{\...
</tex>
この両辺を積分します.
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\int\,\mathrm{d}x = \int\left(C_1e^{-\frac{\kappa}{m}t}+\...
</tex>
積分公式 $\int e^{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}e^{ax}+C$ ...
<tex>
x &= \frac{1}{-\frac{\kappa}{m}}C_1e^{-\frac{\kappa}{m}t}...
&= -\frac{m}{\kappa}C_1e^{-\frac{\kappa}{m}t}+\frac{mg}...
</tex>
という位置の式が求まりました.任意定数 $C_2$ も初期条件か...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2004-06-11@@
@@category: 力学@@
@@id: resistdown@@
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