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#rst2hooktail_source
=============================================
直交座標系
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基底ベクトル $\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}}$ 、もしく...
<tex>
\bm{e_{i}}\cdot \bm{e_{j}} = {\delta}_{ij}
</tex>
<tex>
\bm{e^{i}}\cdot \bm{e^{j}} = {\delta}^{ij}
</tex>
数学や物理学で実際によく使う、デカルト座標系、円筒座標系...
計量テンソルの成分は、その定義により次のように表現されま...
<tex>
g_{ik} = \bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{k}} = 0 \ \ \ (if \ i...
</tex>
<tex>
g^{ik}=\bm{e^{i}} \cdot \bm{e^{k}} = 0 \ \ \ (if \ i \...
</tex>
つまり、計量テンソルを行列表記した場合、直交座標系では対...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
A^{1}\\
A^{2}\\
A^{3}\\
\end{array}
\right)
=
\left( \begin{array}{ccc}
g^{11} & 0 & 0 \\
0 & g^{22} & 0 \\
0 & 0 & g^{33} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1}\\
A_{2}\\
A_{3}\\
\end{array}
\right) \tag{1}
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
A_{1}\\
A_{2}\\
A_{3}\\
\end{array}
\right)
=
\left( \begin{array}{ccc}
g_{11} & 0 & 0 \\
0 & g_{22} & 0 \\
0 & 0 & g_{33} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
A^{1}\\
A^{2}\\
A^{3}\\
\end{array}
\right) \tag{2}
</tex>
式 $(1)$ に式 $(2)$ を代入、もしくは式 $(2)$ に式 $(1)$ ...
<tex>
\left( \begin{array}{ccc}
g^{11} & 0 & 0 \\
0 & g^{22} & 0 \\
0 & 0 & g^{33} \\
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{ccc}
g_{11} & 0 & 0 \\
0 & g_{22} & 0 \\
0 & 0 & g_{33} \\
\end{array}
\right)
=
\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
</tex>
これより、次の関係式が得られます。
<tex>
g_{11}g^{11}=1, \ \ g_{22}g^{22}=1, \ \ g_{33}g^{33}=1
</tex>
また、 計量テンソル_ の記事で行ったように、微小ベクトルの...
<tex>
ds^{2} &= g_{11}(dx^{1})^{2}+ g_{22}(dx^{2})^{2}+g_{33}(d...
&= g^{11}(dx_{1})^{2}+ g^{22}(dx_{2})^{2}+g^{33}(dx_{3})^...
</tex>
ここで、計量テンソルの対角成分の平方根を特に *計量因子* ...
<tex>
h_{1} = \sqrt{g_{11}}, \ \ h_{2} = \sqrt{g_{22}}, \ \ h_{...
</tex>
<tex>
h^{1} = \sqrt{g^{11}}, \ \ h^{2} = \sqrt{g^{22}}, \ \ h^{...
</tex>
計量因子を用いると、 $ds^2$ は次のように書きなおせます。
<tex>
ds^2 &= (h_{1}dx^{1})^{2}+ (h_{2}dx^{2})^{2}+ (h_{3}dx^{3...
&= (h^{1}dx_{1})^{2}+ (h^{2}dx_{2})^{2}+ (h^{3}dx_{3})^{2...
</tex>
微小長さが、計量テンソルの対角成分と変位成分の二乗だけで...
また、直交座標系では共変基底 $(\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{...
<tex>
ds^2 = (h_{1}dx_{1})^{2}+ (h_{2}dx_{2})^{2}+ (h_{3}dx_{3}...
</tex>
区別しなくて良いものをわざわざ区別するのは無駄手間ですか...
.. important::
直交座標系には、添字の上下による区別が必要ない。(共変基...
.. [*] 例えば、高校で微積分の図形問題を勉強したとき、微小...
計量因子は、直交座標系から直交座標系への座標変換をバリバ...
、記憶に留めておいて下さい。
.. _ベクトル演算子の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: OrthogonalCoords@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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直交座標系
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基底ベクトル $\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}}$ 、もしく...
<tex>
\bm{e_{i}}\cdot \bm{e_{j}} = {\delta}_{ij}
</tex>
<tex>
\bm{e^{i}}\cdot \bm{e^{j}} = {\delta}^{ij}
</tex>
数学や物理学で実際によく使う、デカルト座標系、円筒座標系...
計量テンソルの成分は、その定義により次のように表現されま...
<tex>
g_{ik} = \bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{k}} = 0 \ \ \ (if \ i...
</tex>
<tex>
g^{ik}=\bm{e^{i}} \cdot \bm{e^{k}} = 0 \ \ \ (if \ i \...
</tex>
つまり、計量テンソルを行列表記した場合、直交座標系では対...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
A^{1}\\
A^{2}\\
A^{3}\\
\end{array}
\right)
=
\left( \begin{array}{ccc}
g^{11} & 0 & 0 \\
0 & g^{22} & 0 \\
0 & 0 & g^{33} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1}\\
A_{2}\\
A_{3}\\
\end{array}
\right) \tag{1}
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
A_{1}\\
A_{2}\\
A_{3}\\
\end{array}
\right)
=
\left( \begin{array}{ccc}
g_{11} & 0 & 0 \\
0 & g_{22} & 0 \\
0 & 0 & g_{33} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
A^{1}\\
A^{2}\\
A^{3}\\
\end{array}
\right) \tag{2}
</tex>
式 $(1)$ に式 $(2)$ を代入、もしくは式 $(2)$ に式 $(1)$ ...
<tex>
\left( \begin{array}{ccc}
g^{11} & 0 & 0 \\
0 & g^{22} & 0 \\
0 & 0 & g^{33} \\
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{ccc}
g_{11} & 0 & 0 \\
0 & g_{22} & 0 \\
0 & 0 & g_{33} \\
\end{array}
\right)
=
\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
</tex>
これより、次の関係式が得られます。
<tex>
g_{11}g^{11}=1, \ \ g_{22}g^{22}=1, \ \ g_{33}g^{33}=1
</tex>
また、 計量テンソル_ の記事で行ったように、微小ベクトルの...
<tex>
ds^{2} &= g_{11}(dx^{1})^{2}+ g_{22}(dx^{2})^{2}+g_{33}(d...
&= g^{11}(dx_{1})^{2}+ g^{22}(dx_{2})^{2}+g^{33}(dx_{3})^...
</tex>
ここで、計量テンソルの対角成分の平方根を特に *計量因子* ...
<tex>
h_{1} = \sqrt{g_{11}}, \ \ h_{2} = \sqrt{g_{22}}, \ \ h_{...
</tex>
<tex>
h^{1} = \sqrt{g^{11}}, \ \ h^{2} = \sqrt{g^{22}}, \ \ h^{...
</tex>
計量因子を用いると、 $ds^2$ は次のように書きなおせます。
<tex>
ds^2 &= (h_{1}dx^{1})^{2}+ (h_{2}dx^{2})^{2}+ (h_{3}dx^{3...
&= (h^{1}dx_{1})^{2}+ (h^{2}dx_{2})^{2}+ (h^{3}dx_{3})^{2...
</tex>
微小長さが、計量テンソルの対角成分と変位成分の二乗だけで...
また、直交座標系では共変基底 $(\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{...
<tex>
ds^2 = (h_{1}dx_{1})^{2}+ (h_{2}dx_{2})^{2}+ (h_{3}dx_{3}...
</tex>
区別しなくて良いものをわざわざ区別するのは無駄手間ですか...
.. important::
直交座標系には、添字の上下による区別が必要ない。(共変基...
.. [*] 例えば、高校で微積分の図形問題を勉強したとき、微小...
計量因子は、直交座標系から直交座標系への座標変換をバリバ...
、記憶に留めておいて下さい。
.. _ベクトル演算子の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: OrthogonalCoords@@
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