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#rst2hooktail_source
==========================================
代数方程式の判別式
==========================================
代数方程式が与えられたとき、異なる実数解を持つのか、重解...
判別式の定義
-------------------------------------------
次のような $n$ 次の代数方程式を考えましょう。
<tex>
a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n} =0 \tag{1}
</tex>
この方程式が $n$ 個の解(重解を含んでいても良い) ${\alpha}...
<tex>
P=&(\alpha_{1} - \alpha_{2})(\alpha_{1} - \alpha_{3})\cdo...
&\times (\alpha_{2}-\alpha_{3})(\alpha_{2} - \alpha_{4})\...
&\dot \dot \dot \dot \dot \dot \\
&\times (\alpha_{n-1}-\alpha_{n})
</tex>
もしも式(1)が重解を持つとすれば、 $P$ に含まれる括弧のう...
次に式(1)が重解を持たない場合に $P$ の二乗を考えてみまし...
.. [*] 偶数組の共役虚数解(すなわち4の倍数個の虚数解)が含...
この $P$ の二乗を用いて、次のように判別式 $D$ を定めます...
<tex>
D={a_{0}}^{2(n-1)} P^{2}
</tex>
二次方程式の判別式
---------------------------------------------------------...
では、例として次の二次方程式の判別式を考えて見ましょう。
<tex>
ax^{2} + bx +c =0
</tex>
これが解 $\alpha_{1} , \alpha_{2}$ を持つとすると、判別式...
<tex>
D=a^{2} (\alpha_{1} -\alpha_{2})^{2} = a^{2}\{ (\alpha_{1...
</tex>
これは、解と係数の関係を使って次にように書き直すことがで...
<tex>
D&=a^{2} (\alpha_{1} -\alpha_{2})^{2} \\
&= a^{2}\{ (\alpha_{1} +\alpha_{2})^{2} -4\alpha_{1} \alp...
&= b^2 -4ac
</tex>
<tex>
(\because \alpha_{1} +\alpha_{2}=-\frac{b}{a}, \ \ \alp...
</tex>
.. image:: Joh-2det.gif
:align: center
三次方程式の判別式
----------------------------------------------------------
次に、三次方程式の判別式を考えます。
<tex>
ax^{3} + bx^{2} +cx +d =0
</tex>
これが解 $\alpha_{1} , \alpha_{2} ,\alpha_{3}$ を持つとす...
<tex>
D=a^{4} (\alpha_{1} -\alpha_{2})^{2} (\alpha_{2} -\alpha_...
</tex>
解と係数の関係を使って変形すれば、次式に至ります。途中の...
<tex>
D=-4ac^{3} -27a^{2} d^{2} -4b^{3} d+b^{2}c^{2} +18abcd
</tex>
.. image:: Joh-3det.gif
:align: center
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-03-28@@
@@category: 代数学@@
@@id:Discriminant@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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代数方程式の判別式
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代数方程式が与えられたとき、異なる実数解を持つのか、重解...
判別式の定義
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次のような $n$ 次の代数方程式を考えましょう。
<tex>
a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n} =0 \tag{1}
</tex>
この方程式が $n$ 個の解(重解を含んでいても良い) ${\alpha}...
<tex>
P=&(\alpha_{1} - \alpha_{2})(\alpha_{1} - \alpha_{3})\cdo...
&\times (\alpha_{2}-\alpha_{3})(\alpha_{2} - \alpha_{4})\...
&\dot \dot \dot \dot \dot \dot \\
&\times (\alpha_{n-1}-\alpha_{n})
</tex>
もしも式(1)が重解を持つとすれば、 $P$ に含まれる括弧のう...
次に式(1)が重解を持たない場合に $P$ の二乗を考えてみまし...
.. [*] 偶数組の共役虚数解(すなわち4の倍数個の虚数解)が含...
この $P$ の二乗を用いて、次のように判別式 $D$ を定めます...
<tex>
D={a_{0}}^{2(n-1)} P^{2}
</tex>
二次方程式の判別式
---------------------------------------------------------...
では、例として次の二次方程式の判別式を考えて見ましょう。
<tex>
ax^{2} + bx +c =0
</tex>
これが解 $\alpha_{1} , \alpha_{2}$ を持つとすると、判別式...
<tex>
D=a^{2} (\alpha_{1} -\alpha_{2})^{2} = a^{2}\{ (\alpha_{1...
</tex>
これは、解と係数の関係を使って次にように書き直すことがで...
<tex>
D&=a^{2} (\alpha_{1} -\alpha_{2})^{2} \\
&= a^{2}\{ (\alpha_{1} +\alpha_{2})^{2} -4\alpha_{1} \alp...
&= b^2 -4ac
</tex>
<tex>
(\because \alpha_{1} +\alpha_{2}=-\frac{b}{a}, \ \ \alp...
</tex>
.. image:: Joh-2det.gif
:align: center
三次方程式の判別式
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次に、三次方程式の判別式を考えます。
<tex>
ax^{3} + bx^{2} +cx +d =0
</tex>
これが解 $\alpha_{1} , \alpha_{2} ,\alpha_{3}$ を持つとす...
<tex>
D=a^{4} (\alpha_{1} -\alpha_{2})^{2} (\alpha_{2} -\alpha_...
</tex>
解と係数の関係を使って変形すれば、次式に至ります。途中の...
<tex>
D=-4ac^{3} -27a^{2} d^{2} -4b^{3} d+b^{2}c^{2} +18abcd
</tex>
.. image:: Joh-3det.gif
:align: center
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-03-28@@
@@category: 代数学@@
@@id:Discriminant@@
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