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代数方程式の性質
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この辺りで代数方程式の基本的な性質を復習しておきます。主...
代数方程式の定義
--------------------------------------------------------
(このセクションは 代数学の基本定理_ に載せた定義を再掲し...
有限個の数や文字を、『 $+,-,\times , \div , \sqrt{}$ 』の...
未知数が代数式の形で表される方程式を *代数方程式* と呼び...
<tex>
a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0
</tex>
.. [*] 左辺の部分を *多項式* と呼びます。方程式を解くとは...
体と多項式
-----------------------------------------------
すでに 体に関する基本的なこと_ で触れましたが、代数方程式...
<tex>
f(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{n}x^{n} \ \ (c_{i} \in F) \tag...
</tex>
ここで $x$ の最高次数(この場合 $n$ )をこの多項式の *次数*...
<tex>
{\rm deg}(f+g) \le {\rm max} \{ {\rm deg}f , {\rm deg} g ...
</tex>
<tex>
{\rm deg}(fg) = {\rm deg}f + {\rm deg} g \tag{3}
</tex>
この関係は、ちょっと例を考えてみればすぐに分かることなの...
.. [*] 方程式の係数体に応じて『〜上の多項式』と呼ぶという...
商の定理と剰余定理
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
多項式を多項式で割る、という操作を定義できます。多項式 $f...
<tex>
f(x)=q(x)g(x)+r(x) \ \ \ \ {\rm deg}r(x) < {\rm deg}q...
</tex>
ここで $q(x)$ を商、 $r(x)$ を剰余と呼びます。 $f(x)$ が ...
<tex>
f(x)=(3x+10)g(x)+19x-5
</tex>
こんな計算練習問題を、中学校や高校でやったことがあると思...
剰余定理
---------------------------------------------------------...
特に $g(x)=x-\alpha $ の形のとき、 $f(x)=(x-\alpha )q(x)+...
<tex>
f(x)=(x-\alpha )q(x)+ f(\alpha )
</tex>
これを *剰余定理* と呼びます。
方程式の解
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
体 $F$ 上の点 $a$ が $f(x)=0$ の解であるとは、 $a$ が $f(...
ここで、次の定理がなりたちます。
.. admonition:: theorem
体 $F$ 上の $n$ 次方程式は、 $F$ 上に高々 $n$ 個の解を持...
.. admonition:: proof
帰納法によって証明します。まず次数が零の方程式、つまり $...
解の個数は $0$ 〜 $n$ のいずれかで、それは係数の属する体...
.. admonition:: theorem
複素数体C上のn次方程式は、C上にn個の解を持つ。
この定理の証明は、体論の他に複素積分の知識を必要とするの...
既述した内容の繰り返しになりますが、ここで勉強した要点を...
因数分解
---------------------------------------------------------
体 $F$ 上の $n$ 次方程式 $f(x)$ が $F$ 上に $n$ 個全ての...
<tex>
f(x)=c(x-{\alpha }_{1})(x-{\alpha }_{2}) \cdot \cdot \cdo...
</tex>
代数学の基本定理に従えば、このような式変形は複素数体 $C$ ...
また、式 $(4)$ は $f(x)$ の解を明示的に示す形であり、最終...
加・減・乗・除・開冪( $n$ 乗根を求めること)の5つの方法を...
いま勉強したばかりの拡大体の考えを使うと、『体 $F$ 上の方...
.. _体に関する基本的なこと: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _代数学の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
.. _代数的拡大体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Ex...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-21@@
@@category: 代数学@@
@@id: AlgebraicEq@@
終了行:
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代数方程式の性質
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この辺りで代数方程式の基本的な性質を復習しておきます。主...
代数方程式の定義
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(このセクションは 代数学の基本定理_ に載せた定義を再掲し...
有限個の数や文字を、『 $+,-,\times , \div , \sqrt{}$ 』の...
未知数が代数式の形で表される方程式を *代数方程式* と呼び...
<tex>
a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0
</tex>
.. [*] 左辺の部分を *多項式* と呼びます。方程式を解くとは...
体と多項式
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すでに 体に関する基本的なこと_ で触れましたが、代数方程式...
<tex>
f(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{n}x^{n} \ \ (c_{i} \in F) \tag...
</tex>
ここで $x$ の最高次数(この場合 $n$ )をこの多項式の *次数*...
<tex>
{\rm deg}(f+g) \le {\rm max} \{ {\rm deg}f , {\rm deg} g ...
</tex>
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{\rm deg}(fg) = {\rm deg}f + {\rm deg} g \tag{3}
</tex>
この関係は、ちょっと例を考えてみればすぐに分かることなの...
.. [*] 方程式の係数体に応じて『〜上の多項式』と呼ぶという...
商の定理と剰余定理
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多項式を多項式で割る、という操作を定義できます。多項式 $f...
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f(x)=q(x)g(x)+r(x) \ \ \ \ {\rm deg}r(x) < {\rm deg}q...
</tex>
ここで $q(x)$ を商、 $r(x)$ を剰余と呼びます。 $f(x)$ が ...
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f(x)=(3x+10)g(x)+19x-5
</tex>
こんな計算練習問題を、中学校や高校でやったことがあると思...
剰余定理
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特に $g(x)=x-\alpha $ の形のとき、 $f(x)=(x-\alpha )q(x)+...
<tex>
f(x)=(x-\alpha )q(x)+ f(\alpha )
</tex>
これを *剰余定理* と呼びます。
方程式の解
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体 $F$ 上の点 $a$ が $f(x)=0$ の解であるとは、 $a$ が $f(...
ここで、次の定理がなりたちます。
.. admonition:: theorem
体 $F$ 上の $n$ 次方程式は、 $F$ 上に高々 $n$ 個の解を持...
.. admonition:: proof
帰納法によって証明します。まず次数が零の方程式、つまり $...
解の個数は $0$ 〜 $n$ のいずれかで、それは係数の属する体...
.. admonition:: theorem
複素数体C上のn次方程式は、C上にn個の解を持つ。
この定理の証明は、体論の他に複素積分の知識を必要とするの...
既述した内容の繰り返しになりますが、ここで勉強した要点を...
因数分解
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体 $F$ 上の $n$ 次方程式 $f(x)$ が $F$ 上に $n$ 個全ての...
<tex>
f(x)=c(x-{\alpha }_{1})(x-{\alpha }_{2}) \cdot \cdot \cdo...
</tex>
代数学の基本定理に従えば、このような式変形は複素数体 $C$ ...
また、式 $(4)$ は $f(x)$ の解を明示的に示す形であり、最終...
加・減・乗・除・開冪( $n$ 乗根を求めること)の5つの方法を...
いま勉強したばかりの拡大体の考えを使うと、『体 $F$ 上の方...
.. _体に関する基本的なこと: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _代数学の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
.. _代数的拡大体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Ex...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-21@@
@@category: 代数学@@
@@id: AlgebraicEq@@
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