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代数的拡大体と最小多項式
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代数方程式を体論で考えるとき、この代数的拡大体という概念...
<tex>
F \subset E = F(a_{1},a_{2},...,a_{n})
</tex>
もしも、 $E$ に含まれる全ての元が、 $F$ 上の方程式の解に...
ここで注意しなければならないのは、ある数が代数的数である...
例えば $\sqrt{\pi }$ は $Q(\pi )$ 上の代数方程式 $x^{2}-\...
.. [*] 体の元が代数的であるとは、その元が $Q$ 上の代数方...
.. [*] 体 $F$ の拡大体 $E$ の元の中に、 $F$ 上の代数方程...
最小多項式
---------------------------------------------------------
体 $F$ から代数的拡大体 $E$ を作ります。このとき $E$ の元...
.. [*] 例えば $2$ は $x-2=0$ の解ですが、 $(x-4)(x-3)(x-2...
拡大体 $E$ の元 $\alpha$ を元とする $F$ 上の代数方程式の...
1. 最小多項式は $F$ 上既約です。
2. 最小多項式は $\alpha$ を解とする、 $F$ 上の全ての多項...
これらの性質は、上の注に補足したイメージを持っていれば明...
.. [*] ただし、定数倍だけ異なるものを別の多項式と見なすな...
最小多項式に関連した定理として、次のものが重要です。
.. admonition:: theorem
体 $F$ の代数的拡大体を $E$ とし、 $\alpha$ を $E$ の元...
ここで $F(\alpha )$ は、 $F$ と $\alpha$ を単に合わせただ...
この定理の証明は大事なのですが、とても長いのでひとまず省...
この定理によって、 $Q(\sqrt{2})$ の元が $a+b\sqrt{2}$ の...
有限次拡大
---------------------------------------------------------
体 $F$ の拡大体を $E$ とします。 $E$ の $F$ 上の拡大次数 ...
<tex>
[E:F]=n < \infty
</tex>
このとき、 $E$ の元 $x$ に対し $1,x , x^{2},...,x^{n}$ は...
対偶をとって、もしも $[E:F]=\infty $ ならば、 $E$ は $F$...
.. admonition:: theorem
次数が有限の拡大体は代数的拡大体です。次数が無限の拡大体...
この定理は非常に強力です。例えば、拡大体の列 $F=F_{0} \su...
ここまでに出てきた定理を使う次の定理が証明できます。複素...
.. admonition:: theorem
全ての代数的数を集めると、複素数の部分体になります。
証明は 数の階層_ の記事で掲げます。この定理の重要な点は、...
.. _数の階層: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Number...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-24@@
@@category: 代数学@@
@@id: AlgebraicExtension@@
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#rst2hooktail_source
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代数的拡大体と最小多項式
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代数方程式を体論で考えるとき、この代数的拡大体という概念...
<tex>
F \subset E = F(a_{1},a_{2},...,a_{n})
</tex>
もしも、 $E$ に含まれる全ての元が、 $F$ 上の方程式の解に...
ここで注意しなければならないのは、ある数が代数的数である...
例えば $\sqrt{\pi }$ は $Q(\pi )$ 上の代数方程式 $x^{2}-\...
.. [*] 体の元が代数的であるとは、その元が $Q$ 上の代数方...
.. [*] 体 $F$ の拡大体 $E$ の元の中に、 $F$ 上の代数方程...
最小多項式
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体 $F$ から代数的拡大体 $E$ を作ります。このとき $E$ の元...
.. [*] 例えば $2$ は $x-2=0$ の解ですが、 $(x-4)(x-3)(x-2...
拡大体 $E$ の元 $\alpha$ を元とする $F$ 上の代数方程式の...
1. 最小多項式は $F$ 上既約です。
2. 最小多項式は $\alpha$ を解とする、 $F$ 上の全ての多項...
これらの性質は、上の注に補足したイメージを持っていれば明...
.. [*] ただし、定数倍だけ異なるものを別の多項式と見なすな...
最小多項式に関連した定理として、次のものが重要です。
.. admonition:: theorem
体 $F$ の代数的拡大体を $E$ とし、 $\alpha$ を $E$ の元...
ここで $F(\alpha )$ は、 $F$ と $\alpha$ を単に合わせただ...
この定理の証明は大事なのですが、とても長いのでひとまず省...
この定理によって、 $Q(\sqrt{2})$ の元が $a+b\sqrt{2}$ の...
有限次拡大
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体 $F$ の拡大体を $E$ とします。 $E$ の $F$ 上の拡大次数 ...
<tex>
[E:F]=n < \infty
</tex>
このとき、 $E$ の元 $x$ に対し $1,x , x^{2},...,x^{n}$ は...
対偶をとって、もしも $[E:F]=\infty $ ならば、 $E$ は $F$...
.. admonition:: theorem
次数が有限の拡大体は代数的拡大体です。次数が無限の拡大体...
この定理は非常に強力です。例えば、拡大体の列 $F=F_{0} \su...
ここまでに出てきた定理を使う次の定理が証明できます。複素...
.. admonition:: theorem
全ての代数的数を集めると、複素数の部分体になります。
証明は 数の階層_ の記事で掲げます。この定理の重要な点は、...
.. _数の階層: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Number...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-24@@
@@category: 代数学@@
@@id: AlgebraicExtension@@
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